Статическая изотропная метрика

Статическая изотропная метрика — это метрика, определяющая статическое изотропное гравитационное поле. Частным случаем этой метрики является метрика Шварцшильда, на случай пустого (ничем не заполненного) пространства-времени.

Определение

Под словами статическое и изотропное понимается следующее: всегда можно найти набор координат близких к координатам Минковского $x^{1},x^{2},x^{3},x^{0}=t$, такой что инваринтное собственное время $d\tau ^{2}=-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }$ не зависит от $t$, а зависит от $\mathbf {x} ,\mathbf {dx}$ только через инварианты группы поворотов: $\mathbf {x^{2}} ,\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} ,\mathbf {dx^{2}}$. Самый общий вид записи интервала: $d\tau ^{2}=F(r)dt^{2}-2E(r)dt\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} -D(r)(\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} )^{2}-C(r)\mathbf {dx^{2}} ,$

где $F,E,C,D$ — неизвестные функции величины $r\equiv (\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )^{1/2}$

Сведение к стандартному виду

Выгодно заменить $\mathbf {x}$ сферическими полярными координатами $r,\theta ,\phi$:

$x^{1}=r\sin \theta \cos \varphi \,;$

$x^{2}=r\sin \theta \sin \varphi \,;$

$x^{3}=r\cos \varphi \,.$

Интервал в таком случае примет вид:

$d\tau ^{2}=F(r)dt^{2}-2rE(r)dtdr-r^{2}D(r)dr^{2}-C(r)(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})$,

Мы можем установить наши часы по определению новой временной координаты

$t'\equiv t+\Phi (r)$

где $\Phi (r)$ — произвольная функция от $r$. Это позволяет исключить недиагональный элемент $g_{tr}$, положив

${\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {rE(r)}{F(r)}}$

Тогда интервал выражается так:

$d\tau ^{2}=F(r)dt'^{2}-r^{2}G(r)dr^{2}-C(r)(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})$

$G(r)\equiv r^{2}\left(D(r)+{\frac {E^{2}(r)}{F(r)}}\right)$

Мы можем переопределить радиус $r$ и, тем самым, наложить ещё одно условие на функции $F,G,C$, например следующим образом $r'\equiv r^{2}C(r)$ . Тогда мы получим так называемую стандартную форму для статической изотропной метрики:

$d\tau ^{2}=B(r')dt'^{2}-A(r')dr'^{2}-r'^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})$

где

$B(r)\equiv F(r')$

$A(r)\equiv \left(1+{\frac {G(r)}{C(r)}}\right)\left(1+{\frac {r}{2C(r)}}{\frac {dC(r)}{dr}}\right)^{-2}.$

После последнего преобразования метрический тензор имеет следующие ненулевые компоненты:

$g_{rr}=A(r)$

$g_{\theta \theta }=r^{2}$

$g_{\phi \phi }=r^{2}sin^{2}\theta$

$g_{tt}=-B(r)$

Где функции $A(r)$ і $B(r)$ должны быть определены путём решения уравнений поля. Так как $g_{\mu \nu }$ — диагональный тензор, легко написать ненулевые компоненты тензора, обратного к нему:

$g^{rr}=A^{-1}(r)$

$g^{\theta \theta }=r^{-2}$

$g^{\phi \phi }=r^{-2}sin^{-2}\theta$

$g^{tt}=-B^{-1}(r)$

Символы Кристоффеля и тензор Риччи

Аффинная связность может быть вычислена по обычной формуле:

$\Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}\,g^{sk}\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\right)$

Её ненулевые компоненты оказываются равными:

$\Gamma _{rr}^{r}={\frac {1}{2A(r)}}{\frac {dA(r)}{dx}}$,

$\Gamma _{\phi \phi }^{r}=-{\frac {rsin^{2}\theta }{A(r)}}$,

$\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }={\frac {1}{r}}$,

$\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }={\frac {1}{r}}$,

$\Gamma _{\theta \theta }^{r}=-{\frac {r}{A(r)}}$,

$\Gamma _{tt}^{r}={\frac {1}{2A(r)}}{\frac {dB(r)}{dx}}$,

$\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }=-sin\theta cos\theta$,

$\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=ctg\theta$,

$\Gamma _{tr}^{t}=\Gamma _{rt}^{t}={\frac {1}{2B(r)}}{\frac {dB(r)}{dx}}$,

Вычислим также тензор Риччи. Он задаётся выражением

$R_{\sigma \nu }={R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }={\partial _{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}-\partial _{\nu }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \sigma }^{\lambda }.$

Подставляя ранее полученные компоненты аффинной связности, получим:

$R_{rr}={\frac {B''(r)}{2B(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{B(r)}}\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)-{\frac {1}{r}}{\frac {A'(r)}{A(r)}}$,

$R_{\theta \theta }=-1+{\frac {r}{2A(r)}}\left(-{\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)+{\frac {1}{A(r)}}$,

$R_{\phi \phi }=sin^{2}\theta R_{\theta \theta }$,

$R_{tt}={\frac {B''(r)}{2A(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{A(r)}}\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)-{\frac {1}{r}}{\frac {B'(r)}{A(r)}}$,

(Штрих теперь означает дифференцирование по $r$). Вследствие инвариантности метрики относительно поворотов компоненты $R_{\theta r}$, $R_{\theta \phi }$, $R_{\phi r}$, $R_{\phi t}$, $R_{\theta t}$ тождественно равны нулю, а $R_{\phi \phi }=sin^{2}R_{\theta \theta }$. Равенство нулю $R_{tr}$ связано с тем, что мы установили наши часы так, что метрика оказалась инвариантна относительно обращения времени $t\leftrightarrow -t$.