Символы Кристоффеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Символы Кристоффеля являются координатными выражениями аффинной связности, в частности связности Леви-Чивиты. Названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (18291900),

Символы Кристоффеля используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации.

Символы Кристоффеля появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.

Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Элементарное понятие о символах Кристоффеля[править | править вики-текст]

Рис. 1. Параллельный перенос вдоль луча
Рис. 2. Параллельный перенос вдоль дуги

Введение[править | править вики-текст]

Наглядное представление о символах Кристоффеля можно получить на примере полярной системы координат. В этой системе координатами точки являются расстояние {r} от неё до полюса и угол \varphi направления от полярной оси.

Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат, следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин: ({\rm d} r,\,{\rm d}\varphi).

Пусть есть вектор \boldsymbol A с компонентами (a,\,\alpha), где a имеет геометрический смысл проекции вектора \boldsymbol A на радиальный луч (проходящий через начало вектора), а \alpha — угол, под которым вектор виден из полюса.

В прямоугольной системе координат компоненты вектора не меняются при параллельном переносе. В полярной системе координат это не так (см. рисунки). Символы Кристоффеля как раз и выражают изменение компонент вектора при его параллельном переносе.

Параллельный перенос вдоль координатных линий[править | править вики-текст]

При смещении вектора вдоль радиального луча на расстояние {\rm d}r, его компонента a, очевидно, не меняется, но вторая его координата (\alpha) уменьшается (рис. 1). Величина вектора |A|^2= a^2 + r^2\alpha^2 остаётся неизменной, поэтому a^2 + (r+{\rm d}r)^2(\alpha+{\rm d}\alpha)^2 =a^2 + r^2\alpha^2. Отсюда получается (пренебрежением величинами второго и большего порядков малости):

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r.

При параллельном переносе вдоль дуги меняются обе координаты a и \alpha (рис. 2). Очевидно, \alpha = \frac{A}{r}\sin\lambda, a=A\cos\lambda, и {\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi поэтому:

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi.

Кроме этого, так как a=A\cos\lambda, {\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi, и A\sin\lambda=r\alpha, то

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

Параллельный перенос в произвольном направлении[править | править вики-текст]

При произвольном малом смещении вектора (когда меняются и r, и \varphi) изменения компонент надо складывать:

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.
{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi.

Полученные выражения имеют общую структуру: изменение компонент вектора пропорционально всем компонентам вектора и пропорционально величине сдвига вектора. Коэффициенты пропорциональности (без общего минуса) и называются символами Кристоффеля.

В более общих обозначениях x^1=r, x^2=\varphi, {A^1=a} и A^2=\alpha можно записать (имея ввиду сумму по повторяющимся индексам):

{\rm d}A^i=-\Gamma^{i}_{kl}A^k {\rm d}x^l.

Здесь символы Кристоффеля {\Gamma^1_{22}=-r}, \Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=1/r, а все остальные равны нулю.

В прямоугольной системе координат все символы Кристоффеля равны нулю, так как компоненты вектора не изменяются при параллельном переносе. Из этого можно сделать вывод, что символы Кристоффеля не образуют тензор: если тензор равен нулю в какой-либо системе координат, то он равен нулю во всех остальных системах координат.

Символы Кристоффеля первого и второго рода[править | править вики-текст]

Символы Кристоффеля второго рода \Gamma^{k}_{ij} можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов \partial_i=\frac{\partial }{\partial x^i} по базису:

\nabla_{\partial_j}\partial_i = \Gamma^{k}_{ij}\partial_k

Символы Кристоффеля первого рода \Gamma^{}_{n,ij}

\Gamma_{n,ij}=g_{kn}\Gamma^{k}_{ij}=\tfrac12\left(\frac{\partial g_{in}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jn}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\right)

Выражение через метрический тензор[править | править вики-текст]

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты для карты x^i могут быть определены из отсутствия кручения, то есть:

\Gamma^i {}_{jk}=\Gamma^i {}_{kj}.

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора g_{ik}\ равна нулю:

\nabla_\ell g_{ik}=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m {}_{k\ell}=0.

Для сокращения записи символ набла \nabla и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая ", " в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как:

\,g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m {}_{k\ell} = 0.

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

\Gamma^i {}_{k\ell}=
\frac{1}{2}g^{im} 
\left(
\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} 
\right) 
= 
{1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m}),

где g^{ij}\  — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к g_{ij}\ , находится путём решения системы линейных уравнений g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k\ .

Связь с безындексными обозначениями[править | править вики-текст]

Формальные, безындексные определения связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами X^i\ и Y^k\ . Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

\left(\nabla_X Y\right)^k = X^i \nabla_i Y^k = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \Gamma^k {}_{im} Y^m\right).\

Условие отсутствия кручения у связности, :\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]\ , эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

\Gamma^i {}_{jk}=\Gamma^i {}_{kj}.

Замена координат[править | править вики-текст]

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных (x^1,...,x^n)\ на (y^1,...,y^n)\ , базисные векторы преобразуются ковариантно,

\frac{\partial}{\partial y^i} = \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k}\

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

\overline{\Gamma^k {}_{ij}} =
\frac{\partial x^p}{\partial y^i}\,
\frac{\partial x^q}{\partial y^j}\,
\Gamma^r {}_{pq}\,
\frac{\partial y^k}{\partial x^r}
+ 
\frac{\partial y^k}{\partial x^m}\, 
\frac{\partial^2 x^m}{\partial y^i \partial y^j}  
\

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Символы Кристоффеля в различных системах координат[править | править вики-текст]

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) H_\beta, а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

\Gamma_{\beta\beta,\gamma}=-{H_\beta}{H_\gamma}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}, при \beta\neq\gamma.
\Gamma_{\beta\gamma,\beta}={H_\beta}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}.

Символы Кристоффеля второго рода:

\Gamma^\gamma_{\beta\beta}=-\frac{H_\beta}{H_\gamma^2}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}, при \beta\neq\gamma.
\Gamma^\beta_{\beta\gamma}=\Gamma^\beta_{\gamma\beta}=\frac{1}{H_\beta}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}

Ниже приведены значения для распространённых систем координат:

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]