Сужение и продолжение функции

Сужение функции на подмножество $X$ её области определения $D\supset X$ — функция с областью определения $X$, совпадающая с исходной функцией на всём $X$.

Сужение функции $f$ на $X$ обычно обозначается $f|_X$ или $f|X$. Так, для $f:A\to B$, и $X\subset A$, $g=f|_X$ означает, что $g:X\to B$ и $g(x)=f(x)$ для любого $x\in X$.

Другими словами

Пусть дано отображение $f\colon X\to Y$ и $M\subset X$.

Функция $g\colon M\to Y$, которая принимает на $M$ те же значения, что и функция $f$, называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции $f$ на множество $M$.

Продолжение

Если функция $g\colon M\to Y$ такова, что она является сужением для некоторой функции $f\colon X\to Y$, то функция $f$, в свою очередь, называется продолжением функции $g$ на множество $X$.

Имея некоторую функция $f\colon X\to Y$, её можно продолжить бесконечным числом способов на множество $M\supset X$ даже непрерывным образом. Однако, если функция f — аналитическая функция в X, то существует единственное аналитическое продолжение на M.

Вариации и обобщения

• Наиболее общее определение сужения реализуется в контексте пучков
• Для функции $f:A\to B$ рассматривают также сужение на подмножество $A\times B$

См. также

• Аналитическое продолжение