Непрерывное отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Непреры́вное отображе́ние (фу́нкция) в математическом анализе и смежных дисциплинах — это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения функции.

Содержание

1 Непрерывная числовая функция
2 Односторонне непрерывная числовая функция
- 2.1 Замечания
- 2.2 Примеры
3 Обобщения
4 Cм. также

[править] Непрерывная числовая функция

Пусть дана функция $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ и $a\in M.$ Тогда говорят, что $f$ непрерывна в точке $a$ и пишут $f \in C(a),$ если $\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta > 0\; \forall x\in M$

$(|x-a| < \delta) \Rightarrow (|f(x)-f(a)| < \varepsilon).$
Пусть дано подмножество $N\subset M.$ Тогда говорят, что $f$ непрерывна на $N$ и пишут $f\in C(N),$ если

$\forall a \in N\quad f\in C(a).$

[править] Замечания

Функция всегда непрерывна в изолированной точке области определения, то есть

$\left(a \in M\setminus M'\right) \Rightarrow \bigl(f\in C(a)\bigr).$

В предельной точке области определения непрерывность функции эквивалентна существованию предела:

$\bigl( a\in M \cap M' \bigr) \Rightarrow \bigl( f\in C(a) \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)\bigr).$

[править] Базовые свойства

Функция сохраняет знак в окрестности точки непрерывности. Пусть $f\in C(a),\; f(a) > 0.$ Тогда существует окрестность $U (a)$ такая, что

$\forall x \in U(a)\cap M\quad f(x) > 0.$

Сумма непрерывных функций также является непрерывной. Пусть $f,g \in C(a)$ . Тогда

$f+g \in C(a).$
Непрерывная функция умноженная на константу также является непрерывной. Пусть $f,g \in C(a),$ и $\alpha\in \mathbb{R}$ — произвольная константа. Тогда

$\alpha f \in C(a).$
Произведение непрерывных функций также является непрерывным. Пусть $f,g \in C(a)$ . Тогда

$f\cdot g \in C(a).$
Частное непрерывных функций также является непрерывным. Пусть $f,g \in C(a),$ и $g(a) \neq 0.$ Тогда существует окрестность $U (a),$ в которой функция $\frac{f}{g}$ определена, и

$\frac{f}{g} \in C(a).$
Композиция двух непрерывных функций так же является непрерывной. Пусть $f\in C(a),\; b = f(a),\; g \in C(b).$ Тогда

$g \circ f \in C(a).$

[править] Дополнительные свойства

Дифференцируемая функция всегда непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, функция Ван-дер-Вардена непрерывна, но не дифференцируема на всей прямой.
Теорема Больцано — Коши;
Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте.

[править] Разрывные функции

Если функция не является непрерывной в точке $a,$ то говорят, что она в ней разры́вна и пишут $f \not\in C(a).$ Согласно замечанию выше функция может быть разрывной только в предельной точке области определения, и справедливо одно из двух:

Либо предел $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ не существует;
Либо он существует, но $\lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a).$

[править] Устранимый разрыв

Пусть существует $\lim\limits_{x\to a} f(x),$ но $a \not\in M$ или $\lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a).$ Тогда $a$ называется то́чкой устрани́мого разры́ва. Положив $f(a) = \lim\limits_{x\to a} f(x),$ можно добиться непрерывности функции в этой точке.

[править] Разрыв первого рода

Пусть не сущестует двусторонний предел $\lim\limits_{x\to a} f(x),$ но существуют конечные (и различные) односторонние пределы $\lim\limits_{x\to a-} f(x)$ и $\lim\limits_{x\to a+} f(x).$ Тогда $f\not\in C(a),$ и $a$ называется то́чкой разры́ва пе́рвого ро́да.

[править] Разрыв второго рода

Если $f\not\in C(a),$ и $a$ не является точкой устранимого разрыва или разрыва первого рода, то если хотя бы один односторонний предел не существует или бесконечен, то она называется то́чкой разры́ва второ́го ро́да.

[править] Примеры

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические прямые и обратные функции непрерывны везде в своей области определения.
Функция $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},$ задаваемая формулой

$f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{matrix} \right.$

непрерывна в любой точке $x \neq 0.$ Точка $x = 0$ является точкой устранимого разрыва, ибо

$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \neq 0 = f(0).$

Функция знака

$f(x) = \sgn x = \left\{ \begin{matrix} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{matrix} \right.,\; x\in \mathbb{R}$

непрерывна в любом $x \neq 0.$ Точка $x = 0$ является точкой разрыва первого рода, ибо

$\lim\limits_{x \to 0-}f(x) = -1 \neq 1 = \lim\limits_{x \to 0+} f(x).$

Функция

$f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{matrix} \right.$

непрерывна в любом $x \neq 0.$ Точка $x = 0$ является точкой разрыва второго рода, ибо, например,

$\lim\limits_{x \to 0-}f(x) = - \infty.$