Непрерывное отображение

Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция — это такое отображение, у которого малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения.

Определения

Понятие непрерывного отображения определяется немного по-разному в различных разделах математики. Непрерывные числовые функции рассматриваются в математическом анализе. Некоторым обобщением непрерывных функций являются непрерывные отображения векторных пространств. Более общий случай — непрерывные функции, заданные на метрических пространствах. Наиболее общее определение непрерывности в данной точке дается для топологических пространств.

В метрических пространствах топология задается семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение можно сформулировать в терминах этой метрики. Для линейных нормированных пространствах (включая, гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задается нормой, поэтому то же определение можно дать в терминах нормы. Таким образом все эти определения непрерывности являются частным случаем топологического определения.

Топологические пространства

Отображение $f\colon X \to Y$ топологического пространства $(X,\mathcal{T}_X)$ в топологическое пространство $(Y,\mathcal{T}_Y)$ называется непрерывным, если прообраз $f^{-1}(V)$ любого открытого множества $V \in \mathcal{T}_Y$ открыт, то есть:

$\forall V \in \mathcal{T}_Y \quad f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X$.

Метрические пространства

Отображение $f\colon X \to Y$ метрического пространства $(X,\rho_X)$ в метрическое пространство $(Y,\rho_Y)$ называется непрерывным в точке $a$, если для всякого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$, что для всякого $x\in X$, такого, что $\rho_X(x,a) < \delta$, выполняется неравенство: $\rho_Y(f(x), f(a))<\varepsilon$.

Определение в нормированных пространствах

Пусть, $f\colon {N_1}\to {N_2}$ отображение между нормированными пространствами с нормами $\|{*}\|_1$ и $\|{*}\|_2$ соответственно.

Функция $f$ непрерывна в точке $a$, если для любого числа $\varepsilon > 0$ найдётся такое число $\delta > 0$, что для всех точек $x \in N_1$, таких что $\|x-a\|_1< \delta$ выполнено неравенство $\|f(x)-f(a)\|_2 < \varepsilon$,

Числовая функция

Пусть, $f\colon \mathbb{R}\supset E\to\mathbb{R}$. (Вместо $\mathbb{R}$ также допустимо использовать $\mathbb{C}$.)

Функция $f$ непрерывна в точке $a$, если для любого числа $\varepsilon > 0$ найдётся такое число $\delta > 0$, что для всех точек $x\in E$ условие $|x-a|< \delta$ влечет $|f(x)-f(a)| < \varepsilon$.

Другими словами, функция $f$ непрерывна в точке $a$, предельной для множества $E$, если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

$f\in C(\{a\}) \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)$

Функция $f$ непрерывна на множестве $E$, если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция $f$ класса $C^0$ и пишут: $f\in C^0(E)$ или, подробнее, $f\in C^0(E, \mathbb{R})$.

Свойства непрерывных отображений

• Полный прообраз любого открытого множества при непрерывном отображении — открытое множество

• Образ компактного множества при непрерывном отображении — компактное множество.

• Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней.

• (Теорема Титце.) Любая вещественнозначная непрерывная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства может быть продолжена до непрерывной функции на всё пространство.

Вариации и обобщения

• Секвенциальная непрерывность определяется следующим образом: Если $x_n\rightarrow x \Rightarrow f(x_n)\rightarrow f(x)$ или $\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) \rightarrow f(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n) = f(x)$
  • В случае, если топология удовлетворяет первой аксиоме счётности (в частности, для метрических пространств) секвенциальная непрерывность эквивалентна общему понятию непрерывности.

См. также

• Пространство непрерывных функций
• Линейный непрерывный оператор
• Предел функции
• Общая топология
• Топологическое пространство
• Открытое отображение
• Равномерная непрерывность

Ссылки

Математические Этюды Мультик про непрерывность