Теорема Борсука — Улама

Теорема Бо́рсука—У́лама — классическая теорема алгебраической топологии.

Если задана непрерывная функция $f:S^n \to \mathbb{R}^n$, где $S^n$ — сфера в $(n+1)$-мерном евклидовом пространстве, то существуют такие две диаметрально противоположные точки $a, b \in S$, что $f(a)=f(b)$.

История

Теорема была впервые сформулирована Станиславом Уламом, а в 1933 г. она была доказана Борсуком.

Интерпретация

Неформально известна как «теорема о температуре и давлении»: в любой момент времени на Земле найдутся две диаметрально противоположных точки с равной температурой и равным давлением. Это следует из теоремы Борсука—Улама (при $n=2$), если считать земную поверхность сферой, а температуру и давление — непрерывными функциями на ней.

Литература

• K. Borsuk Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre — Fund. Math., 20 (1933), с. 177—190.
• Jiří Matoušek Using the Borsuk-Ulam theorem — Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
• L. Lyusternik and S. Shnirel’man Topological Methods in Variational Problems. — М.:Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., 1930.
• Borsuk-Ulam theorem implies the Brouwer fixed point theorem
• Allen Hatcher Algebraic Topology (бесплатно)