Алгебраическая топология

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Алгебраи́ческая тополо́гия — область математики, раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов, а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.

Содержание 1 Основная идея 2 История 3 Литература 4 См. также

[править] Основная идея

Применение алгебраических методов в топологии основывается на том соображениии, что, грубо говоря, алгебраические структуры устроены проще, чем топологические. Разберём в связи с этим доказательство знаменитой теоремы Брауэра. Здесь D_n означает замкнутый n-мерный шар, S_{n − 1} — его (n − 1)-мерную границу (сферу):

Всякое непрерывное отображение f n-мерного шара D_n в себя имеет неподвижную точку то есть такую точку x, что f(x) = x

Нетрудно видеть, что для этого достаточно доказать следующую лемму:

Не существует непрерывного отображения g n-мерного шара D_n на свою границу S_{n − 1} такого, что g(x) = x для всех точек границы (так называемой ретракции)

В самом деле, если у отображения f нет неподвижных точек, то мы можем построить отображение g шара на сферу проведя для каждой точки шара x луч, выходящий из f(x) и проходящий через x (в случае отсутствия неподвижных точек это разные точки). Точку пересечения луча со сферой S_{n − 1} обозначим через y и положим g(x) = y. Ясно, что получившееся отображение непрерывно, и если x принадлежит сфере, то g(x) = x. Мы получили ретракцию шара на сферу, что по лемме невозможно. Значит неподвижные точки (хотя бы одна) должны существовать.

Теперь главная трудность состоит в доказательстве леммы. Пусть существует такая ретракция g. Обозначим i — вложение сферы в шар i(x) = x. Имеем:

произведение отображений gi = id — тождественное отображение сферы (вначале i, затем g). Одним из главнейших инструментов алгебраической топологии является так называемые группы гомологий (например, симплициальные или сингулярные). Каждому топологическому пространству X соответствует в каждой размерности n своя абелева группа гомологий H_n(X), а каждому непрерывному отображению соответствует гомоморфизм групп , причём произведению отображений fg соответствует произведение гомоморфизмов f _* g _* , а тождественному отображению id соответствует тождественный изоморфизм id _* . (На языке теории категорий это означает, что группа гомологий является ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию абелевых групп).

Теперь возвращаемся к нашей лемме. Легко доказать, что , а H_{n − 1}(D_n) = 0. Тогда отображение будет отображением в 0 но, с другой стороны, так как gi = id, имеем  — является не нулевым гомоморфизмом, а тождественным изоморфизмом. Таким образом, лемма доказана.

Конечно, имеются и неалгебраические доказательства теоремы Брауэра, но введение гомологий сразу позволило легко доказать множество утверждений, ранее казавшихся несвязанными друг с другом. Помимо различных гомологий (сейчас очень большое значение приобрели экстраординарные гомологии, например теория бордизмов или K-теория) для алгебраической топологии важны гомотопические группы π_n(X). Из них главной является π₁(X) — так называемая фундаментальная группа, в отличие от групп всех других размерностей могущая быть неабелевой.

[править] История

Некоторые теоремы алгебраической топологии были известны ещё Эйлеру, например, что для всякого выпуклого многогранника с числом вершин V, рёбер E и граней F имеет место V − E + F = 2.

Топологическими вопросами интересовались Гаусс и Риман.

Но основную роль в создание алгебраической топологии как науки сыграл Пуанкаре — именно ему принадлежат понятия симплициальных гомологий и фундаментальной группы. Большой вклад внесли Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стинрод, Эйленберг, Серр, Том, Атья, Хирцебрух, Ботт, Адамс, Смейл, Милнор, Квиллен; из советских/российских математиков необходимо отметить П. С. Александрова, Колмогорова, Понтрягина, Люстерника, Рохлина, Новикова, Фоменко, Концевича, Воеводского, Перельмана.

[править] Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997
• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО,2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989

• Hatcher A. Algebraic Topology

[править] См. также

• Дифференциальная топология
• Комбинаторная топология
• Общая топология