Алгебраическая топология

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебраи́ческая тополо́гия (устаревшее название: комбинаторная топология) — раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов (групп, колец и т. д.), а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.

Основная идея[править | править исходный текст]

Методы алгебраической топологии основаны на предположении, что алгебраические структуры устроены проще, чем топологические.

Помимо различных гомологий (сейчас очень большое значение приобрели экстраординарные гомологии, например теория бордизмов или K-теория) для алгебраической топологии важны гомотопические группы \pi_n(X). Из них главной является \pi_1(X) — так называемая фундаментальная группа, которая, в отличие от групп всех других размерностей, может быть неабелевой.

Теорема Брауэра (пример)[править | править исходный текст]

В качестве примера применения методов алгебраической топологии можно привести доказательство знаменитой теоремы Брауэра. Здесь D_n означает замкнутый n-мерный шар, S_{n-1} — его (n-1)-мерную границу (сферу):

Всякое непрерывное отображение f n-мерного шара D_n в себя имеет неподвижную точку, то есть такую точку x, что f(x)=x

Нетрудно видеть, что для этого достаточно доказать следующую лемму:

Не существует непрерывного отображения g n-мерного шара D_n на свою границу S_{n-1} такого, что g(x)=x для всех точек границы (так называемой ретракции)

В самом деле, если у отображения f нет неподвижных точек, то мы можем построить отображение g шара на сферу, проведя для каждой точки шара x луч, выходящий из f(x) и проходящий через x (в случае отсутствия неподвижных точек это разные точки). Точку пересечения луча со сферой S_{n-1} обозначим через y и положим g(x)=y. Ясно, что получившееся отображение непрерывно, и если x принадлежит сфере, то g(x)=x. Мы получили ретракцию шара на сферу, что по лемме невозможно. Значит неподвижные точки (хотя бы одна) должны существовать.

Теперь главная трудность состоит в доказательстве леммы. Пусть существует такая ретракция g. Обозначим i — вложение сферы в шар i(x)=x. Имеем:

произведение отображений gi=\mathrm{id} — тождественное отображение сферы (вначале i, затем g). Одним из главнейших инструментов алгебраической топологии являются так называемые группы гомологий (например, симплициальные или сингулярные). Каждому топологическому пространству X соответствует в каждой размерности n своя абелева группа гомологий H_n(X), а каждому непрерывному отображению f:X\to Y соответствует гомоморфизм групп f_*:H_n(X)\to H_n(Y), причём произведению отображений fg соответствует произведение гомоморфизмов f_*g_*, а тождественному отображению \mathrm{id} соответствует тождественный изоморфизм \mathrm{id}_*. (На языке теории категорий это означает, что группа гомологий является ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию абелевых групп.)

Теперь возвращаемся к нашей лемме. Легко доказать, что H_{n-1}(S_{n-1})=\mathbf{Z}, а H_{n-1}(D_n)=0. Тогда отображение g_*:H_{n-1}(D_n)\to H_{n-1}(S_{n-1}) будет отображением в 0, но, с другой стороны, так как gi=\mathrm{id}, имеем g_*i_*=\mathrm{id}_*:\mathbf{Z}\to\mathbf{Z} — является не нулевым гомоморфизмом, а тождественным изоморфизмом. Таким образом, лемма доказана.

Конечно, имеются и неалгебраические доказательства теоремы Брауэра, но введение гомологий сразу позволило легко доказать множество утверждений, ранее казавшихся несвязанными друг с другом.

История[править | править исходный текст]

Некоторые теоремы алгебраической топологии были известны ещё Эйлеру, например, что для всякого выпуклого многогранника с числом вершин V, рёбер E и граней F имеет место V-E+F=2.

Топологическими вопросами интересовались Гаусс и Риман.

Но основную роль в создании алгебраической топологии как науки сыграл Пуанкаре — именно ему принадлежат понятия симплициальных гомологий и фундаментальной группы. Большой вклад внесли Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стинрод, Эйленберг, Серр, Том, Атья, Хирцебрух, Ботт, Адамс, Смейл, Милнор, Квиллен; из советских/российских математиков необходимо отметить П. С. Александрова, Колмогорова, Понтрягина, Люстерника, Рохлина, Новикова, Фоменко, Концевича, Воеводского, Перельмана.

Литература[править | править исходный текст]

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997
  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
  • Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
  • Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983
  • Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
  • Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО,2006
  • Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
  • Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989

См. также[править | править исходный текст]