Алгебраическая топология

Алгебраи́ческая тополо́гия (устаревшее название: комбинаторная топология) — раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов (групп, колец и т.д.) а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.

Основная идея

Методы алгебраической топологии основаны на предположении, что алгебраические структуры устроены проще, чем топологические.

Помимо различных гомологий (сейчас очень большое значение приобрели экстраординарные гомологии, например теория бордизмов или $K$-теория) для алгебраической топологии важны гомотопические группы $\pi_n(X)$. Из них главной является $\pi_1(X)$ — так называемая фундаментальная группа, которая, в отличие от групп всех других размерностей, может быть неабелевой.

Теорема Брауэра (пример)

В качестве примера применения методов алгебраической топологии можно привести доказательство знаменитой теоремы Брауэра. Здесь $D_n$ означает замкнутый $n$-мерный шар, $S_{n-1}$ — его $(n-1)$-мерную границу (сферу):

Всякое непрерывное отображение $f$ $n$-мерного шара $D_n$ в себя имеет неподвижную точку то есть такую точку $x$, что $f(x)=x$

Нетрудно видеть, что для этого достаточно доказать следующую лемму:

Не существует непрерывного отображения $g$ $n$-мерного шара $D_n$ на свою границу $S_{n-1}$ такого, что $g(x)=x$ для всех точек границы (так называемой ретракции)

В самом деле, если у отображения $f$ нет неподвижных точек, то мы можем построить отображение $g$ шара на сферу проведя для каждой точки шара $x$ луч, выходящий из $f(x)$ и проходящий через $x$ (в случае отсутствия неподвижных точек это разные точки). Точку пересечения луча со сферой $S_{n-1}$ обозначим через $y$ и положим $g(x)=y$. Ясно, что получившееся отображение непрерывно, и если $x$ принадлежит сфере, то $g(x)=x$. Мы получили ретракцию шара на сферу, что по лемме невозможно. Значит неподвижные точки (хотя бы одна) должны существовать.

Теперь главная трудность состоит в доказательстве леммы. Пусть существует такая ретракция $g$. Обозначим $i$ — вложение сферы в шар $i(x)=x$. Имеем:

произведение отображений $gi=\mathrm{id}$ — тождественное отображение сферы (вначале $i$, затем $g$). Одним из главнейших инструментов алгебраической топологии является так называемые группы гомологий (например, симплициальные или сингулярные). Каждому топологическому пространству $X$ соответствует в каждой размерности $n$ своя абелева группа гомологий $H_n(X)$, а каждому непрерывному отображению $f:X\to Y$ соответствует гомоморфизм групп $f_*:H_n(X)\to H_n(Y)$, причём произведению отображений $fg$ соответствует произведение гомоморфизмов $f_*g_*$, а тождественному отображению $\mathrm{id}$ соответствует тождественный изоморфизм $\mathrm{id}_*$. (На языке теории категорий это означает, что группа гомологий является ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию абелевых групп).

Теперь возвращаемся к нашей лемме. Легко доказать, что $H_{n-1}(S_{n-1})=\mathbf{Z}$, а $H_{n-1}(D_n)=0$. Тогда отображение $g_*:H_{n-1}(D_n)\to H_{n-1}(S_{n-1})$ будет отображением в 0 но, с другой стороны, так как $gi=\mathrm{id}$, имеем $g_*i_*=\mathrm{id}_*:\mathbf{Z}\to\mathbf{Z}$ — является не нулевым гомоморфизмом, а тождественным изоморфизмом. Таким образом, лемма доказана.

Конечно, имеются и неалгебраические доказательства теоремы Брауэра, но введение гомологий сразу позволило легко доказать множество утверждений, ранее казавшихся несвязанными друг с другом.

История

Некоторые теоремы алгебраической топологии были известны ещё Эйлеру, например, что для всякого выпуклого многогранника с числом вершин $V$, рёбер $E$ и граней $F$ имеет место $V-E+F=2$.

Топологическими вопросами интересовались Гаусс и Риман.

Но основную роль в создание алгебраической топологии как науки сыграл Пуанкаре — именно ему принадлежат понятия симплициальных гомологий и фундаментальной группы. Большой вклад внесли Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стинрод, Эйленберг, Серр, Том, Атья, Хирцебрух, Ботт, Адамс, Смейл, Милнор, Квиллен; из советских/российских математиков необходимо отметить П. С. Александрова, Колмогорова, Понтрягина, Люстерника, Рохлина, Новикова, Фоменко, Концевича, Воеводского, Перельмана.

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997
• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО,2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989

• Hatcher A. Algebraic Topology

См. также

• Общая топология
• Дифференциальные геометрия и топология