Алгебраическая топология
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Алгебраи́ческая тополо́гия — область математики, раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов, а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.
Содержание |
[править] Основная идея
Применение алгебраических методов в топологии основывается на том соображениии, что, грубо говоря, алгебраические структуры устроены проще, чем топологические. Разберём в связи с этим доказательство знаменитой теоремы Брауэра. Здесь Dn означает замкнутый n-мерный шар, Sn-1 — его n-1-мерную границу (сферу):
Всякое непрерывное отображение f n-мерного шара Dn в себя имеет неподвижную точку т.е. такую точку x, что f(x)=x
Нетрудно видеть, что для этого достаточно доказать следующую лемму:
Не существует непрерывного отображения g n-мерного шара Dn на свою границу Sn-1 такого, что g(x)=x для всех точек границы (т.н. ретракции)
В самом деле, если у отображения f нет неподвижных точек, то мы можем построить отображение g шара на сферу проведя для каждой точки шара x луч, выходящий из f(x) и проходящий через х (в случае отсутствия неподвижных точек это разные точки). Точку пересечения луча со сферой Sn-1 обозначим через у и положим g(x)=y. Ясно, что получившееся отображение непрерывно, и если x принадлежит сфере, то g(x)=x. Мы получили ретракцию шара на сферу, что по лемме невозможно. Значит неподвижные точки (хотя бы одна) должны существовать).
Теперь главная трудность состоит в доказательстве леммы. Пусть существует такая ретракция g. Обозначим i - вложение сферы в шар i(x)=x. Имеем:
произведение отображений gi=id — тождественное отображение сферы (вначале i, затем g). Одним из главнейших инструментов алгебраической топологии является т.н. группы гомологий (например, симплициальные или сингулярные). Каждому топологическому пространству X соответствует в каждой размерности n своя абелева группа гомологий Hn(X), а каждому непрерывному отображению f:X→Y соответствует гомоморфизм групп f*:Hn(X)→Hn(Y), причём произведению отображений fg соответствует произведение гомоморфизмов f*g*, а тождественному отображению id соответствует тождественный изоморфизм id* (На языке теории категорий это означает, что группа гомологий является ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию абелевых групп).
Теперь возвращаемся к нашей лемме. Легко доказать, что Hn-1(Sn-1)=Z, а Hn-1(Dn)=0. Тогда отображение g*:Hn-1(Dn) → Hn-1(Sn-1) будет отображением в 0 но, с другой стороны, так как gi=id, имеем g*i*=id*:Z → Z - является не нулевым гомоморфизмом, а тождественным изоморфизмом. Таким образом, лемма доказана.
Конечно, имеются и неалгебраические доказательства теоремы Брауэра, но введение гомологий сразу позволило легко доказать множество утверждений, ранее казавшихся несвязанными друг с другом. Помимо различных гомологий (сейчас очень большое значение приобрели экстраординарные гомологии, например теория бордизмов или K-теория) для алгебраической топологии важны гомотопические группы πn(X). Из них главной является π1(X) — т.н. фундаментальная группа, в отличие от групп всех других размерностей могущая быть неабелевой.
[править] История
Некоторые теоремы алгебраической топологии были известны ещё Эйлеру, например, что для всякого выпуклого многогранника с числом вершин V, рёбер E и граней F имеет место V-E+F=2. Топологическими вопросами интересовались Гаусс и Риман. Но основную роль в создание алгебраической топологии как науки сыграл Пуанкаре — именно ему принадлежат понятия симплициальных гомологий и фундаментальной группы. Большой вклад внесли Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стинрод, Эйленберг, Серр, Том, Атья, Хирцебрух, Ботт, Адамс, Смейл, Милнор, Квиллен; из советских/российских математиков необходимо отметить П.С.Александрова, Колмогорова, Понтрягина, Люстерника, Рохлина, Новикова, Фоменко, Концевича, Воеводского, Перельмана.
[править] Литература
- Васильев В.А. Введение в топологию. -М.:Фазис, 1997
- Вик Дж.У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. -М:МЦНМО, 2005
- Виро О.Я., Иванов О.А., Харламов В.М., Нецветаев Н.Ю. Задачный учебник по топологии
- Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. -М.:Мир, 1976
- Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. -М.:Наука, 1979
- Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий.-М.:Наука, 1984
- Зейферт Г., Трельфалль В. Топология -Ижевск: РХД, 2001
- Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. -М.:Мир, 1983
- Лефшец С. Алгебраическая топология. -М.:ИЛ, 1949
- Новиков П.С. Топология. 2 изд. испр. и доп. -Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
- Прасолов В.В. Элементы теории гомологий. -М.:МЦНМО,2006
- Свитцер Р.М. Алгебраическая топология - гомотопии и гомологии. -М.:Наука, 1985
- Спеньер Э. Алгебраическая топология. -М.:Мир, 1971
- Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. -М.:Физматгиз,1958
- Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. -М.:Наука, 1989
- Hatcher A. Algebraic Topology
