Теорема о промежуточном значении

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Формулировка[править | править исходный текст]

Пусть дана непрерывная функция на отрезке f\in C\bigl([a,b]\bigr). Пусть также f(a) \neq f(b), и без ограничения общности предположим, что f(a) = A < B = f(b). Тогда для любого C \in [A,B] существует c\in [a,b] такое, что f(c)=C.

Следствия[править | править исходный текст]

  • (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть f\in C\bigl([a,b]\bigr), и sign(f(a))\ne sign(f(b)). Тогда \exists c \in (a,b) такое, что f(c) = 0.
  • В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.

Замечание[править | править исходный текст]

  • Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называется первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой соответственно[1]. На самом деле они эквивалентны.

Обобщение[править | править исходный текст]

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция f\colon X\to\R, определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство (X,\mathcal{T}), и функция f\in C(X). Пусть x_1,x_2\in X,\; f(x_1) = y_1,\; f(x_2) = y_2, и y_1 < y_2. Тогда

\forall y \in [y_1,y_2]\; \exists x\in X\; f(x) = y.

В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.

История[править | править исходный текст]

Теорема была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]