Теорема Кантора — Бернштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема Кантора — Бернштейна (в англ. литературе теорема Кантора — Бернштейна — Шрёдера), утверждает, что если существуют инъективные отображения и между множествами A и B, то существует взаимооднозначное отображение . Другими словами, что мощности множеств A и B совпадают:

| A | = | B | .

Неформально говоря, теорема утверждает следующее:

Из и , следует, что α = β.

Утверждение теоремы является очевидным, если под α и β подразумеваются действительные числа, однако теорема ведёт речь о кардинальных числах.

Содержание 1 Доказательство 2 История 3 См. также 4 Литература

[править] Доказательство

Пусть

и

и

Тогда, для любого положим

Если x не лежит в C, тогда x должен быть в g[B] (образе множества B под действием отображения g). И тогда существует g ^{− 1}(x), и h корректно определённое взаимооднозначное отображение (биекция).

Можно проверить, что и есть искомое взаимооднозначное отображение.

Заметим, что это определение отображения h неконструктивно в том смысле, что не существует общего алгоритма определения за конечное число шагов для любых заданных множеств A, B и инъекций f, g, лежит ли некоторый элемент x множества A в множестве C или нет. Хотя для некоторых частных случаев, такой алгоритм существует.

[править] История

Теорема названа в честь Георга Кантора, Феликса Бернштейна и Эрнста Шрёдера

Первоначальное доказательство использовало аксиому выбора, однако эта аксиома необязательна для доказательства данной теоремы.

Эрнст Шрёдер первым сформулировал теорему, но опубликовал неправильное доказательство. Независимо эта теорема была сформулирована Кантором.^{[источник не указан 55 дней]} Ученик Кантора Феликс Бернштейн опубликовал диссертацию, содержащую полностью корректное доказательство.

[править] См. также

• Эрнст Шрёдер
• Георг Кантор
• Феликс Бернштейн
• Теория множеств
• Кардинальное число

[править] Литература

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.

• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004. — 336 с.

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.