Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лебега.

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

[править] Формулировка

Пусть фиксировано пространство с мерой $(X,\mathcal{F},\mu)$ . Предположим, что $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ и $f$ — измеримые функции на $X$ , причём $f_n(x) \to f(x)$ п.в. Тогда если существует определенная на том же пространстве интегрируемая функция $g$ , такая что $\forall n \in \mathbb{N}\quad |f_n(x)| \leq g(x)$ п.в., то функции $f n, f$ интегрируемы и

$\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mu(dx).$

[править] Замечание

Условие мажорированности последовательности ${f n}$ интегрируемой функцией $g$ принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть $(X,\mathcal{F},\mu) = ([0,1],\mathcal{B},m)$ , где $\mathcal{B}$ — борелевская σ-алгебра на $[0,1]$ , а $m$ — мера Лебега на том же пространстве. Определим

$f_n(x) = \left\{ \begin{matrix} n, & x \in \left[0,\frac{1}{n}\right) \\[10pt] 0, & x \in \left[\frac{1}{n},1\right] \end{matrix} \right..$

Тогда последовательность ${f n}$ не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

$\int\limits_0^1\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx).$

[править] Приложение к теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $Ω$ , вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся п.н. последовательность случайных величин: $X_n \to X$ п.н. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина $Y$ , такая что $\forall n \in \mathbb{N}\quad |X_n| \leq Y$ п.н. Тогда случайные величины $X n$ , $X$ интегрируемы и