Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Содержание

[править] Формулировка

Пусть фиксировано пространство с мерой (X,\mathcal{F},\mu). Предположим, что \{f_n\}_{n=1}^{\infty} и f — измеримые функции на X, причём f_n(x) \to f(x) п.в. Тогда если существует определенная на том же пространстве интегрируемая функция g, такая что \forall n \in \mathbb{N}\quad |f_n(x)| \leq g(x) п.в., то функции fn,f интегрируемы и

\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mu(dx).

[править] Замечание

Условие мажорированности последовательности {fn} интегрируемой функцией g принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть (X,\mathcal{F},\mu) = ([0,1],\mathcal{B},m), где \mathcal{B} — борелевская σ-алгебра на [0,1], а m — мера Лебега на том же пространстве. Определим

f_n(x) = \left\{
\begin{matrix}
n, & x \in \left[0,\frac{1}{n}\right) \\[10pt]
0, & x \in \left[\frac{1}{n},1\right]
\end{matrix} \right..

Тогда последовательность {fn} не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

\int\limits_0^1\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx).

[править] Приложение к теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов Ω, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся п.н. последовательность случайных величин: X_n \to X п.н. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина Y, такая что \forall n \in \mathbb{N}\quad |X_n| \leq Y п.н. Тогда случайные величины Xn, X интегрируемы и

\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}X_n = \mathbb{E} X.

[править] Вариации и обобщения