Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Формулировка[править | править исходный текст]

Пусть фиксировано пространство с мерой (X,\mathcal{F},\mu). Предположим, что \{f_n\}_{n=1}^{\infty} и f — измеримые функции на X, причём f_n(x)\to f(x) почти всюду. Тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая функция g, такая что \forall n\in\N\quad|f_n(x)|\leqslant g(x) почти всюду, то функции f_n,\;f интегрируемы и

\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_X f_n(x)\,\mu(dx)=\int\limits_X f(x)\,\mu(dx).

Замечание[править | править исходный текст]

Условие мажорированности последовательности \{f_n\} интегрируемой функцией g принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть (X,\;\mathcal{F},\;\mu)=([0,\;1],\;\mathcal{B},\;m), где \mathcal{B} — борелевская \sigma-алгебра на [0,\;1], а m — мера Лебега на том же пространстве. Определим

f_n(x)=\begin{cases}
n, & x\in\left[0,\;\dfrac{1}{n}\right); \\[10pt]
0, & x\in\left[\dfrac{1}{n},\;1\right].\end{cases}

Тогда последовательность \{f_n\} не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

\int\limits_0^1\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx).

Приложение к теории вероятностей[править | править исходный текст]

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов \Omega, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: X_n\to X почти всюду. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина Y, такая что \forall n\in\N\quad|X_n|\leqslant Y почти наверное. Тогда случайные величины X_n,\;X интегрируемы и

\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{E}X_n=\mathbb{E}X.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]