Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Формулировка

Пусть фиксировано пространство с мерой $(X,\mathcal{F},\mu)$. Предположим, что $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ и $f$ — измеримые функции на $X$, причём $f_n(x)\to f(x)$ почти всюду. Тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая функция $g$, такая что $\forall n\in\N\quad|f_n(x)|\leqslant g(x)$ почти всюду, то функции $f_n,\;f$ интегрируемы и

$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_X f_n(x)\,\mu(dx)=\int\limits_X f(x)\,\mu(dx).$

Замечание

Условие мажорированности последовательности $\{f_n\}$ интегрируемой функцией $g$ принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть $(X,\;\mathcal{F},\;\mu)=([0,\;1],\;\mathcal{B},\;m)$, где $\mathcal{B}$ — борелевская $\sigma$-алгебра на $[0,\;1]$, а $m$ — мера Лебега на том же пространстве. Определим

$f_n(x)=\begin{cases} n, & x\in\left[0,\;\dfrac{1}{n}\right); \\[10pt] 0, & x\in\left[\dfrac{1}{n},\;1\right].\end{cases}$

Тогда последовательность $\{f_n\}$ не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

$\int\limits_0^1\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx).$

Приложение к теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $\Omega$, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: $X_n\to X$ почти всюду. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина $Y$, такая что $\forall n\in\N\quad|X_n|\leqslant Y$ почти наверное. Тогда случайные величины $X_n,\;X$ интегрируемы и

$\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{E}X_n=\mathbb{E}X.$

Вариации и обобщения

• Теорема Фату — Лебега (англ.)