Интеграл Лебега

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Сверху интегрирование по Риману, снизу по Лебегу

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах (интеграл Фреше).

Идея построения интеграла Лебега[1] состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение[править | править вики-текст]

Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой (X,\mathcal{F},\mu), и на нем определена борелевская функция f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})).

Определение 1. Пусть \,f — индикатор некоторого измеримого множества, то есть f(x) = \mathbf{1}_A(x), где A \in \mathcal{F}. Тогда интеграл Лебега функции \,f по определению:

 \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \equiv \int\limits_X f\, d\mu = \mu( A ).

Определение 2. Пусть \,f — простая функция, то есть f(x) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mathbf{1}_{F_i}(x), где \{f_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb{R}, а \{F_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{F} — конечное разбиение \,X на измеримые множества. Тогда

\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mu(F_i).

Определение 3. Пусть теперь \,f — неотрицательная функция, то есть f(x) \geqslant 0\; \forall x\in X. Рассмотрим все простые функции \,\{f_s\}, такие что f_s(x) \leqslant f(x)\; \forall x\in X. Обозначим это семейство \mathcal{P}_f. Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от f задаётся формулой:

\int\limits_X f(x)\,\mu(dx) = \sup\left\{\int\limits_X f_s(x)\,\mu(dx)\; \vert\; f_s \in \mathcal{P}_f \right\}

Наконец, если функция f произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

\,f(x) = f^+(x) - f^-(x),

где

f^+(x) = \max(f(x),0),\; f^-(x) = - \min( 0, f(x)).

Определение 4. Пусть \,f — произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:

\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f^+(x)\, \mu(dx) - \int\limits_X f^-(x)\, \mu(dx).

Определение 5. Пусть наконец A \in \mathcal{F} произвольное измеримое множество. Тогда по определению

\int\limits_A f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mathbf{1}_A(x)\, \mu(dx),

где \mathbf{1}_A(x) — индикатор-функция множества A.

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим функцию Дирихле f(x) \equiv \chi_{\mathbb{Q}_{[0,1]}}(x), заданную на ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m), где \mathcal{B}([0,1]) — борелевская σ-алгебра на \,[0,1], а \,m — мера Лебега. Эта функция принимает значение \,1 в рациональных точках и \,0 в иррациональных. Легко увидеть, что \,f не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

\int\limits_{[0,1]}f(x)\, m(dx) = 1 \cdot m(\mathbb{Q}_{[0,1]}) + 0 \cdot m( [0,1] \setminus \mathbb{Q}_{[0,1]} ) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0.

Действительно, мера отрезка [0,1] равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна 1-0=1.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Так как \,|f(x)| = f^+(x) + f^-(x), измеримая функция \,f(x) интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция \,|f(x)| интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
  • В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
  • Если функция определена на вероятностном пространстве (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) и измерима, то она называется случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Интеграл Лебега линеен, то есть
    \int\limits_X[af(x)+bg(x)]\, \mu(dx) = a \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) + b\int\limits_X g(x)\, \mu(dx) ,
где a,b\in \mathbb{R} — произвольные константы;
  • Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если 0 \leqslant f(x) \leqslant g(x) почти всюду, f(x) измерима и g(x) интегрируема, то интегрируема и f(x), и более того
    0 \leqslant \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \leqslant \int\limits_X g(x)\, \mu(dx);
  • Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если \,f(x) = g(x) почти всюду, то
    \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X g(x)\, \mu(dx).

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Lebesgue, Henri (1904). "Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives". Paris: Gauthier-Villars.