Теорема Лежандра (сферическая тригонометрия)

Теорема Лежандра в сферической тригонометрии позволяет упростить решение сферического треугольника, если известно, что его стороны достаточно малы по сравнению с радиусом сферы, на которой он расположен.

Формулировка

Сферический треугольник.

Пусть дан сферический треугольник со сторонами $a,b,c$, малыми по сравнению с радиусом сферы $R$, углами $\alpha ,\beta ,\gamma$ и эксцессом $\varepsilon =\alpha +\beta +\gamma -\pi$. Построим на плоскости треугольник со сторонами $a',b',c'$, равными по длине соответствующим сторонам данного сферического треугольника, то есть, поскольку для сторон сферического треугольника принята угловая мера, и они выражаются в радианах, то $a'=aR,b'=bR,c'=cR$. Обозначим углы такого треугольника (выраженные в радианах) через $\alpha ',\beta ',\gamma '$. Теорема Лежандра утверждает, что справедливы соотношения:

$\alpha '\approx \alpha -{\frac {\varepsilon }{3}}$

$\beta '\approx \beta -{\frac {\varepsilon }{3}}$

$\gamma '\approx \gamma -{\frac {\varepsilon }{3}}$

Таким образом, если стороны сферического треугольника малы по сравнению с радиусом сферы, мы можем заменить его на плоский треугольник с такими же по длине сторонами и на треть эксцесса меньшими углами и вычислять элементы плоского треугольника.

История

Эта теорема была сформулирована А.М.Лежандром в 1787 году и доказана им в 1798 году. Однако, по некоторым источникам, она была известна ещё в 1740 году, когда Ш.М. де ла Кондамин использовал её при обработке градусных измерений перуанской экспедиции.