Теорема Пойнтинга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Пойнтинга (англ. Poynting's theorem) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:

\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} = -\mathbf{J}\cdot\mathbf{E},

Где S — вектор Пойнтинга, J — плотность тока и E — электрическое поле. Плотность энергии u (\varepsilon_0 — электрическая постоянная, \mu_0 — магнитная постоянная).

u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 \mathbf{E}^2 + \frac{\mathbf{B}^2}{\mu_0}\right).

Теорема Пойнтинга в интегральной форме:

\frac{\partial}{\partial t} \int_V u \  dV + \oint_{\partial V}\mathbf{S} \  d\mathbf{A} = -\int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \ dV,

где \partial V \! — поверхность, ограничивающая объём V \! .

В технической литературе теорема обычно записывается так (u — плотности энергии):


\nabla\cdot\mathbf{S} + \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0
,

где \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} — плотность энергии электрического поля, \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} — плотность энергии магнитного поля и \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} — мощность джоулевых потерь в единице объёма.

Вывод[править | править вики-текст]

Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε0 и μ0 приписать ε и μ):

\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Домножив обе части уравнения на \mathbf{B}, получим:

\mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = - \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Рассмотрим сначала уравнение Максвелла-Ампера:

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Домножив обе части уравнения на \mathbf{E}, получим:

\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mathbf{E} \cdot \mu_0 \mathbf{J} +  \mathbf{E} \cdot \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Вычитая первое из второго, получим:


\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - 
\mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = 
\mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + 
\varepsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + 
\mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Наконец:


- \nabla\cdot\ ( \mathbf{E} \times \mathbf{B}  ) = 
\mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + 
\varepsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + 
\mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Поскольку вектор Пойнтинга \mathbf{S} определяется как:

 \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}

это равносильно:


\nabla\cdot\mathbf{S} + 
\varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} +
\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0.

Обобщение[править | править вики-текст]

Механическая энергия описанной выше теоремы


\frac{\partial}{\partial t} u_m(\mathbf{r},t) + \nabla\cdot \mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) =
\mathbf{J}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r},t),

где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α


u_m(\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha}
\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)),

\mathbf{S_m} — поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:


\mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha}\dot{\mathbf{r}}_{\alpha}
\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)).

Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии


\frac{\partial}{\partial t}\left(u_e + u_m\right) + \nabla\cdot \left( \mathbf{S}_e +
\mathbf{S}_m\right) = 0,

Альтернативные формы[править | править вики-текст]

Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока \mathbf{S} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B} можно выбрать форму Авраама \mathbf{E} \times \mathbf{H}, форму Минковского \mathbf{D} \times \mathbf{B}, или какую-либо другую.