Тетраэдр Гурса

В евклидовом 3-пространстве существует 3 простых тетраэдра Гурса, которые представляются символами [4,3,4], [4,3^1,1] и [3^[4]]. Они могут рассматриваться как точки на кубе и внутри куба {4,3}.

Тетраэдр Гурса — тетраэдральная фундаментальная область построения Витхоффа. Каждая грань тетраэдра представляет зеркальную гиперплоскость на 3-мерной поверхности — 3-сферы, евклидового 3-мерного пространства и гиперболического 3-мерного пространства. Коксетер назвал область именем Эдуара Гурса, который первым обратил внимание на эти области. Тетраэдр Гурса является расширением теории треугольников Шварца для построения Витхоффа на сфере.

Графическое представление

Тетраэдр Гурса может быть представлен графически тетраэдральным графом, который является двойственной конфигурацией фундаментальной области в виде тетраэдра. В этом графе каждый узел представляет грань (зеркало) тетраэдра Гурса. Каждое ребро помечено рациональным числом, соответствующим порядку отражения, который равен $\pi$/двугранный угол.

4-вершинная диаграмма Коксетера — Дынкина представляет эти тетраэдральные графы со скрытыми рёбрами второго порядка. Если много рёбер имеют порядок 2, группа Коксетера может быть представлена скобочной нотацией.

Для существования тетраэдра Гурса каждый из подграфов с 3 вершинами этого графа, (p q r), (p u s), (q t u) и (r s t), должны соответствовать треугольнику Шварца.

Внешняя симметрия

Симметрия тетраэдра Гурса может быть тетраэдральной симметрией любой подгруппы симметрии, показанной в дереве цветом рёбер.

Расширенная симметрия тетраэдра Гурса является полупрямым произведением группы Коксетера симметрии и фундаментальной области симметрии (тетраэдра Гурса, в этом случае). Нотация Коксетера поддерживает эту симметрию как вложенные скобки, наподобие [Y[X]], что означает полную группу Коксетера симметрии [X] с Y в качестве симметрии тетраэдра Гурса. Если Y является чистой зеркальной симметрией, группа будет представлять другую группу Коксетера отражений. Если имеется только одна простая удваивающая симметрия, Y может быть выражена явно, наподобие [[X]] с зеркальной или вращательной симметрией, в зависимости от контекста.

Расширенная симметрия каждого тетраэдра Гурса задана ниже. Наивысшая возможная симметрия у правильного тетраэдра, [3,3], и она достигается на призматической точечной группе [2,2,2], или [2^[3,3]], и на паракомпактной гиперболической группе [3^[3,3]].

См. симметрии тетраэдра для 7 симметрий низкого порядка тетраэдра.

Полное число решений

Последующие секции показывают все из полного набора решений тетраэдров Гурса для 3-сферы, евклидова 3-мерного пространства и гиперболического 3-мерного пространства. Расширенная симметрия каждого тетраэдра тоже указана.

Цветные тетраэдральные диаграммы ниже являются вершинными фигурами всеусечённых многогранников и сот из каждого семейства симметрий. Метки рёбер представляют порядки многоугольных граней, которые являются удвоенными порядками ветвей графа Коксетера. Двугранный угол ребра, помеченного 2n, равен $\pi /n$. Жёлтые рёбра, помеченные цифрой 4, получаются из прямого угла (несвязанных) зеркал (узлов) диаграммы Коксетера.

(Конечные) решения на 3-сфере

Изоморфизм конечных групп Коксетера

Решения для 3-сферы с плотностью 1: (однородные многогранники)

Дуопризмы и гиперпризмы:

Группа Коксетера и диаграмма	[2,2,2]	[p,2,2]	[p,2,q]	[p,2,p]	[3,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Порядок группы симметрии	16	8p	4pq	4p2	48	96	240
Симметрии тетраэдра	[3,3] (порядок 24)	[2] (порядок 4)	[2] (порядок 4)	[2+,4] (порядок 8)	[ ] (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[ ]+ (порядок 1)
Расширенные симметрии	[(3,3)[2,2,2]] =[4,3,3]	[2[p,2,2]] =[2p,2,4]	[2[p,2,q]] =[2p,2,2q]	[(2+,4)[p,2,p]] =[2+[2p,2,2p]]	[1[3,3,2]] =[4,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Порядок расширенных групп симметрии	384	32p	16pq	32p2	96	96	240

Тип графа	Линейный				Трёхлистный
Группа Коксетера и диаграмма	Пяти- ячейный [3,3,3]	Шестнадцати- ячейный [4,3,3]	Двадцати- четырёхъ- ячейный [3,4,3]]]	Шестисот- ячейный [5,3,3] [5,3,3]	Полутессеракт [31,1,1]
Вершинная фигура всеусечённых однородных многогранников
Тетраэдр
Порядок группы симметрии	120	384	1152	14400	192
Тетраэдральная симметрия	[2]+ (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[2]+ (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[3] (порядок 6)
Расширенная симметрия	[2+[3,3,3]]	[4,3,3]	[2+[3,4,3]]	[5,3,3]	[3[31,1,1]] =[3,4,3]
Порядок группы расширенной симметрии	240	384	2304	14400	1152

Решения в евклидовом 3-мерном пространстве

Изоморфизмы евклидовых групп Коксетера

Решения плотности 1: Выпуклые однородные соты:

Тип графа	Линейный	Трёхлистный	Кольцо	Призматический			Вырожденный
Группа Коксетера Диаграмма Коксетера	[4,3,4]	[4,31,1]	[3[4]]	[4,4,2]	[6,3,2]	[3[3],2]	[∞,2,∞]
Вершинная фигура всеусечённых сот
Тетраэдр
Тетраэдральная симметрия	[2]+ (порядок 2)	[ ] (порядок 2)	[2+,4] (порядок 8)	[ ] (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[3] (порядок 6)	[2+,4] (порядок 8)
Расширенная симметрия	[(2+)[4,3,4]]	[1[4,31,1]] =[4,3,4]	[(2+,4)[3[4]]] =[2+[4,3,4]]	[1[4,4,2]] =[4,4,2]	[6,3,2]	[3[3[3],2]] =[3,6,2]	[(2+,4)[∞,2,∞]] =[1[4,4]]

Решения для гиперболических 3-пространств

Решения плотности 1: (Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве) (Компакт (группы симплексов Ланнера))

Группы симплексов Ланнера ранга 4

Тип графа	Линейный			Трёхлистный
Группа Коксетера Диаграмма Коксетера	[3,5,3]	[5,3,4]	[5,3,5]	[5,31,1]
Вершинный фигуры всеусечённых сот
Тетраэдр
Тетраэдральная симметрия	[2]+ (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[2]+ (порядок 2)	[ ] (порядок 2)
Расширенная симметрия	[2+[3,5,3]]	[5,3,4]	[2+[5,3,5]]	[1[5,31,1]] =[5,3,4]
Тип графа	Кольцо
Группа Коксетера Диаграмма Коксетера	[(4,3,3,3)]	[(4,3)2]	[(5,3,3,3)]	[(5,3,4,3)]	[(5,3)2]
Вершинные фигуры всеусечённых сот
Тетраэдр
Тетраэдральная симметрия	[2]+ (порядок 2)	[2,2]+ (порядок 4)	[2]+ (порядок 2)	[2]+ (порядок 2)	[2,2]+ (порядок 4)
Расширенная симметрия	[2+[(4,3,3,3)]]	[(2,2)+[(4,3)2]]	[2+[(5,3,3,3)]]	[2+[(5,3,4,3)]]	[(2,2)+[(5,3)2]]

Решения в паракомпактных гиперболических 3-пространствах

Здесь показана связь подгрупп паракомпактного гиперболического тетраэдра Гурса. Подгруппы порядка 2 представляют разбиение тетраэдра Гурса плоскостью зеркальной симметрии

Решения плотности 1: (См. Паракомпакт (группы симплексов Козула))

Группы симплексов Козула ранга 4

Тип графа	Линейные графы
Группа Коксетера Диаграмма Коксетера	[6,3,3]	[3,6,3]	[6,3,4]	[6,3,5]	[6,3,6]	[4,4,3]	[4,4,4]
Тетраэдральная симметрия	[ ]+ (порядок 1)	[2]+ (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[ ]+ (порядок 1)	[2]+ (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[2]+ (порядок 2)
Расширенная симметрия	[6,3,3]	[2+[3,6,3]]	[6,3,4]	[6,3,5]	[2+[6,3,6]]	[4,4,3]	[2+[4,4,4]]
Тип графа	Кольцевые графы
Группа Коксетера Диаграмма Коксетера	[3[ ]×[ ]]	[(4,4,3,3)]	[(43,3)]	[4[4]]	[(6,33)]	[(6,3,4,3)]	[(6,3,5,3)]	[(6,3)[2]]
Тетраэдральная симметрия	[2] (порядок 4)	[ ] (порядок 2)	[2]+ (порядок 2)	[2+,4] (порядок 8)	[2]+ (порядок 2)	[2]+ (порядок 2)	[2]+ (порядок 2)	[2,2]+ (порядок 4)
Расширенная симметрия	[2[3[ ]×[ ]]] =[6,3,4]	[1[(4,4,3,3)]] =[3,41,1]	[2+[(43,3)]]	[(2+,4)[4[4]]] =[2+[4,4,4]]	[2+[(6,33)]]	[2+[(6,3,4,3)]]	[2+[(6,3,5,3)]]	[(2,2)+[(6,3)[2]]]
Тип графа	Трёхлистный			Кольцо с хвостом				Симлекс
Группа Коксетера Диаграмма Коксетера	[6,31,1]	[3,41,1]	[41,1,1]	[3,3[3]]	[4,3[3]]	[5,3[3]]	[6,3[3]]	[3[3,3]]
Тетраэдральная симметрия	[ ] (порядок 2)	[ ] (порядок 2)	[3] (порядок 6)	[ ] (порядок 2)	[ ] (порядок 2)	[ ] (порядок 2)	[ ] (порядок 2)	[3,3] (порядок 24)
Расширенная симметрия	[1[6,31,1]] =[6,3,4]	[1[3,41,1]] =[3,4,4]	[3[41,1,1]] =[4,4,3]	[1[3,3[3]]] =[3,3,6]	[1[4,3[3]]] =[4,3,6]	[1[5,3[3]]] =[5,3,6]	[1[6,3[3]]] =[6,3,6]	[(3,3)[3[3,3]]] =[6,3,3]

Рациональные решения

Существует сотни рациональных решений для 3-сфер, включая эти 6 линейных графов, которые образуют многогранники Шлефли–Гесса, и 11 нелинейных:

Линейные графы Плотность 4: [3,5,5/2] Плотность 6: [5,5/2,5] Плотность 20: [5,3,5/2] Плотность 66: [5/2,5,5/2] Плотность 76: [5,5/2,3] Плотность 191: [3,3,5/2]

Графы «кольцо с хвостом»: Плотность 2: Плотность 3: Плотность 5: Плотность 8: Плотность 9: Плотность 14: Плотность 26: Плотность 30: Плотность 39: Плотность 46: Плотность 115:

См. также

• Точечная группа симметрии для n-симплексных решений на (n-1)-сфере.

Литература

• Coxeter H. C. M. Table 3: Schwarz’s Triangles // Regular Polytopes (book). — Third edition. — Dover Edition, 1973. — С. 280, Goursat's tetrahedra. — ISBN 0-486-61480-8.

• N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation). Джонсон доказал, что перечисление тетраэдров Гурса Коксетером полно.
• Edouard Goursat. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 1889. — Вып. 6. — С. 9–102, 80–81 tetrahedra.
• Klitzing, Richard.Dynkin Diagrams Goursat tetrahedra
• N.W. Johnson. Главы 11,12,13 // Geometries and Transformations. — 2015.
• Johnson N. W., Kellerhals R., Ratcliffe J. G., Tschantz S. T. Transformation Groups // The size of a hyperbolic Coxeter simplex. — 1999. — Т. 4. — С. 329–353.