Двугранный угол

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Двугранный угол и линейный угол двугранного угла
Двугранный угол трёх векторов (как внешний сферический угол)

Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями.[1]

Определения и свойства[править | править вики-текст]

Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая — ребром.

Прямой угол в двугранном угле, равном 45 градусов (анимация)

Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Линейный угол между этими двумя лучами и будет равен по величине двугранному углу. Если один из лучей не перпендикулярен ребру, то величина линейного угла между лучами в общем случае будет отлична от величины двугранного угла. Например, в любой двугранный угол (в том числе больший 90 градусов) можно поместить прямой угол так, чтобы его вершина лежала на ребре двугранного угла, а стороны принадлежали его граням. В этом легко убедиться, размещая угольник в приоткрытой книге.

У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре.

Величины двугранных углов правильных многогранников:

Название точный двугранный угол в радианах приближённое значение в градусах
Тетраэдр arccos(1/3) 70.53°
Гексаэдр или куб π/2 90°(точн.)
Октаэдр π − arccos(1/3) 109.47°
Додекаэдр 2·arctg(φ) 116.56°
Икосаэдр 2·arctg(φ + 1) 138.19°

где φ = (1 + √5)/2 — золотое сечение.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Двугранным углом также называется пересечение двух полупространств в n-мерном Евклидовом пространстве.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Д-Коо // «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2. — С. 50. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]