Точная последовательность Эйлера

Точная последовательность Эйлера — это определённая точная последовательность пучков на n-мерном проективном пространстве над кольцом. Она показывает, что кокасательное расслоение проективного пространства стабильно изоморфно (n + 1)-кратной сумме тавтологических расслоений ${\mathcal {O}}(-1)$ (см. скручивающий пучок Серра).

Формулировка

Для коммутативного кольца A существует точная последовательность пучков

$0\to \Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}\to 0.$

Для доказательства достаточно определить гомоморфизм $S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i}$, где $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ и $e_{i}=1$ в степени 1, сюръективный в степенях $\geq 1$ и проверить, что локально на (n + 1)-й стандартных аффинных картах его ядро изоморфно модулю относительных дифференциалов.

Геометрическая интерпретация

Мы предполагаем, что кольцо A является полем k.

Точная последовательность выше эквивалентна последовательности

$0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0$,

где последний ненулевой член — это касательный пучок.

Рассмотрим V — (n + 1)-мерное векторное пространство над k и объясним точную последовательность

$0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}(1)\otimes V\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} (V)}\to 0$

Эту последовательность легче всего понимать, интерпретируя средний член как пучок 1-однородных векторных полей на векторном пространстве V. Существует замечательное сечение этого пучка — эйлерово векторное поле — тавтологически определяемое путём сопоставления точке векторного пространства соответствующего этой точке вектора, перенесённого в касательное пространство в этой точке.

Это векторное поле радиально в том смысле, что оно зануляется на 0-однородных функциях, то есть функциях, инвариантных относительно гомотетии с центром в нуле.

Функция (определённая на некотором открытом множестве) на $\mathbb {P} (V)$ индуцирует 0-однородную функцию на V (вновь частично определённую). Мы получаем 1-однородные векторные поля, умножая эйлерово векторное поле на такие функции. Это определяет первое отображение.

Второе отображение связано с понятием дифференцирований, эквивалентным понятию векторных полей. Напомним, что векторное поле на открытом подмножестве U проективного пространства $\mathbb {P} (V)$ может быть определено как дифференцирование функций, определённых на этом открытом множестве. Рассматривая прообраз в V, это эквивалентно дифференцированию на прообразе U, сохраняющему 0-однородные функции. Любое векторное поле на $\mathbb {P} (V)$ может быть получено таким образом, и ядро полученного отображения состоит в точности из радиальных векторных полей.

Каноническое линейное расслоение проективного пространства

Переходя к старшим внешним степеням, находим, что канонический пучок проективного пространства имеет вид

$\omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}\cong {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(-(n+1))$.

В частности, проективные пространства являются многообразиями Фано, так как каноническое линейное расслоение анти-обильно.

Литература

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М.: Мир, 1981.