Проективное пространство
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Проекти́вное простра́нство над телом K — пространство состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства L(K) над данным телом. Данные прямые называются точками проективного пространства.
Если L имеет размерность n + 1, то размерностью проективного пространства называется число n а само проективное пространство обозначается KPn и называется ассоциированным с L (чтобы это указать, принято обозначение P(L)).
Точки KPn можно описывать с помощью однородных координат.
Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской, что наиболее интересно в случае проективной плоскости. Тогда оказывается, что проективная плоскость, определённая аксиомами, может быть определена как двухмерное проективное пространство над некоторым телом тогда и только тогда, когда выполняется т. н. аксиома Дезарга, которая для размерностей больших 2 является теоремой.
Содержание |
[править] Связанные определения
- Пусть M есть гиперплоскость в линейном пространстве L. Проективное пространство
называется проективной гиперплоскостью P(L).
[править] Свойства
- На дополнении проективной гиперплоскости
существует естественная структура аффинного пространства. - Обратно, взяв за основу аффинное пространство A можем получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.
[править] Тавтологическое расслоение
Тавтологическим расслоением
называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения 
а слоем — вещественная прямая
. Каноническая проекция γn отображает прямую, проходящую через точки
, в соответствующую точку проективного пространства. При
это расслоение не является тривиальным. При n = 1 пространством расслоения является лента Мёбиуса.
[править] Литература
- Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
- Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
- Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.


