Проективное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проекти́вное простра́нство над полем K — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства L(K) над данным полем. Прямые пространства L(K) называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело K.

Если L имеет размерность n+1, то размерностью проективного пространства называется число n, а само проективное пространство обозначается KP^n и называется ассоциированным с L (чтобы это указать, принято обозначение P(L)).

Переход от векторного пространства L(K) размерности n+1 к соответствующему проективному пространству KP^n называется проективизацией пространства L(K).

Точки KP^n можно описывать с помощью однородных координат.

Аксиоматическое определение[править | править исходный текст]

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской. В этом случае проективное пространство определяется как система, состоящая из множества точек P, множества прямых L и отношения инцидентности I, которое обычно выражается словами «точка лежит на прямой», удовлетворяющая следующим аксиомам:

  • Для любых двух различных точек существует единственная прямая, инцидентная обоим точкам;
  • Каждая прямая инцидентна не менее чем трём точкам;
  • Если прямые L и M пересекаются (имеют общую инцидентную точку), точки p и q лежат на прямой L, а точки s и r — на прямой M, то прямые ps и qr пересекаются.

Подпространством проективного пространства называется подмножество T множества P, такое что для любых p,q\in P из этого подмножества все точки прямой pq принадлежат T. Размерностью проективного пространства P называется наибольшее число n, такое что существует строго возрастающая цепочка подпространств вида

\varnothing = X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.

Классификация[править | править исходный текст]

  • Размерность 0: пространство состоит из единственной точки.
  • Размерность 1: произвольное непустое множество точек и единственная прямая, на которой лежат все эти точки.
  • Размерность 2 (проективная плоскость): в этом случае классификация является более сложной. Все плоскости вида KP^n для некоторого тела K удовлетворяют аксиоме Дезарга, однако существуют также недезарговы плоскости (англ.).
  • Большие размерности: согласно теореме Веблена — Юнга,[1] любое проективное пространство размерности более двух может быть получено как проективизация модуля над некоторым телом.

Связанные определения и свойства[править | править исходный текст]

  • Пусть M есть гиперплоскость в линейном пространстве L. Проективное пространство P(M)\subset P(L) называется проективной гиперплоскостью в P(L).
  • На дополнении проективной гиперплоскости A=P(L)\backslash P(M) существует естественная структура аффинного пространства.
  • Обратно, взяв за основу аффинное пространство A можно получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены т. н. бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.

Тавтологическое расслоение[править | править исходный текст]

Тавтологическим расслоением \gamma^n : E \to \mathbb{R}P^n называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения \mathbb{R} P^n\times\mathbb{R}^{n+1}

E(\gamma^n):=\big\{(\{\pm\;x\},v)\in\mathbb{R}P^n\times\mathbb{R}^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda\in\mathbb{R}\big\}.

а слоем — вещественная прямая \mathbb R. Каноническая проекция \gamma^n отображает прямую, проходящую через точки \pm x \in \mathbb{R}^{n+1}, в соответствующую точку проективного пространства. При n\geq 1 это расслоение не является тривиальным. При n=1 пространством расслоения является лента Мёбиуса.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Veblen, Oswald; Young, John Wesley. Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965 (Reprint of 1910 edition)

Литература[править | править исходный текст]

  • Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
  • Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
  • Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
  • Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
  • Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.