Проективное пространство

Проекти́вное простра́нство над телом $K$ — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства $L(K)$ над данным телом. Прямые пространства $L(K)$ называются точками проективного пространства.

Если $L$ имеет размерность $n+1$, то размерностью проективного пространства называется число $n$, а само проективное пространство обозначается $KP^n$ и называется ассоциированным с $L$ (чтобы это указать, принято обозначение $P(L)$).

Переход от векторного пространства $L(K)$ размерности $n+1$ к соответствующему проективному пространству $KP^n$ называется проективизацией пространства $L(K)$.

Точки $KP^n$ можно описывать с помощью однородных координат.

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской, что наиболее интересно в случае проективной плоскости. Тогда оказывается, что проективная плоскость, определённая аксиомами, может быть определена как двумерное проективное пространство над некоторым телом тогда и только тогда, когда выполняется т. н. аксиома Дезарга, которая для размерностей больших 2 является теоремой.

Связанные определения

• Двумерное проективное пространство называется проективной плоскостью.
• Пусть $M$ есть гиперплоскость в линейном пространстве $L$. Проективное пространство $P(M)\subset P(L)$ называется проективной гиперплоскостью $P(L)$.

Свойства

• На дополнении проективной гиперплоскости $A=P(L)\backslash P(M)$ существует естественная структура аффинного пространства.
• Обратно, взяв за основу аффинное пространство $A$ можем получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.

Тавтологическое расслоение

Тавтологическим расслоением $\gamma^n : E \to \mathbb{R}P^n$ называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения $\mathbb{R} P^n\times\mathbb{R}^{n+1}$

$E(\gamma^n):=\big\{(\{\pm\;x\},v)\in\mathbb{R}P^n\times\mathbb{R}^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda\in\mathbb{R}\big\}.$

а слоем — вещественная прямая $\mathbb R$. Каноническая проекция $\gamma^n$ отображает прямую, проходящую через точки $\pm x \in \mathbb{R}^{n+1}$, в соответствующую точку проективного пространства. При $n\geq 1$ это расслоение не является тривиальным. При $n=1$ пространством расслоения является лента Мёбиуса.

Литература

• Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
• Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
• Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.