Проективное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Проекти́вное простра́нство над телом K — пространство состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства L(K) над данным телом. Данные прямые называются точками проективного пространства.

Если L имеет размерность n + 1, то размерностью проективного пространства называется число n а само проективное пространство обозначается KPⁿ и называется ассоциированным с L (чтобы это указать, принято обозначение P(L)).

Точки KPⁿ можно описывать с помощью однородных координат.

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской, что наиболее интересно в случае проективной плоскости. Тогда оказывается, что проективная плоскость, определённая аксиомами, может быть определена как двухмерное проективное пространство над некоторым телом тогда и только тогда, когда выполняется т. н. аксиома Дезарга, которая для размерностей больших 2 является теоремой.

Содержание 1 Связанные определения 2 Свойства 3 Тавтологическое расслоение 4 Литература

[править] Связанные определения

• Пусть M есть гиперплоскость в линейном пространстве L. Проективное пространство называется проективной гиперплоскостью P(L).

[править] Свойства

• На дополнении проективной гиперплоскости существует естественная структура аффинного пространства.
• Обратно, взяв за основу аффинное пространство A можем получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.

[править] Тавтологическое расслоение

Тавтологическим расслоением называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения

а слоем — вещественная прямая . Каноническая проекция γⁿ отображает прямую, проходящую через точки , в соответствующую точку проективного пространства. При это расслоение не является тривиальным. При n = 1 пространством расслоения является лента Мёбиуса.

[править] Литература

• Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.