Тригонометрические преобразования Фурье

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Синус-преобразование Фурье и косинус-преобразование Фурье — одни из видов преобразований Фурье, не использующих комплексные числа.

Определение[править | править исходный текст]

Синус-преобразование Фурье[править | править исходный текст]

Синус-преобразование Фурье  {\hat f}^s или  {\mathcal F}_s(f) функции f(t) равно

 2 \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\sin\,{2\pi \nu t} \,dt.,
где
 t  — время, \nu — частота колебаний.

Функция f(t) нечётна по \nu, то есть

  {\hat f}^s(\nu) = - {\hat f}^s(-\nu) для любого  \nu.

Косинус-преобразование Фурье[править | править исходный текст]

Косинус-преобразование Фурье  {\hat f}^c или  {\mathcal F}_c (f) функции f(t) равно

 2 \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\cos\,{2\pi \nu t} \,dt.
где
 t  — время, \nu — частота колебаний.

Функция f(t) чётна по \nu, то есть  {\hat f}^s(\nu) =  {\hat f}^s(-\nu) для любого  \nu.

Обратное синус- и косинус-преобразование Фурье[править | править исходный текст]

Изначальная функция f(t) может быть найдена по формуле

 f(t) = \int _0^\infty {\hat f}^c \cos (2\pi \nu t) d\nu + \int _0^\infty {\hat f}^s \sin (2\pi \nu t) d\nu.

Используя формулу сложения для косинуса, получим, что

 \frac\pi2 (f(x+0)+f(x-0)) = \int _0^\infty \int_{-\infty}^\infty \cos \omega (t-x) f(t) dt d\omega, ,
где
f(x+0) и f(x-0) — право- и левосторонние пределы соответственно.

Если функция f(t) чётная, то часть формулы с синусом обращается в нуль, если f(t) нечётная, то исчезает косинус.

Расширение на комплексные числа[править | править исходный текст]

Сегодня чаще используется формула синус- и косинус-преобразования Фурье в комплексном виде

 \hat f(\nu) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-2\pi i\nu t}\,dt.

Используя формулу Эйлера, получим

 \hat f(\nu) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)(\cos\,{2\pi\nu t} - i\,\sin{2\pi\nu t})\,dt = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\cos\,{2\pi \nu t} \,dt - i \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\sin\,{2\pi \nu t}\,dt = \frac 12 {\hat f}^c (\nu) - \frac i2 {\hat f}^s (\nu).

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

  • Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211