Нечётные и чётные функции
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В математике, нечётные и чётные функции это функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xn чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.
Нечётная фу́нкция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.
Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.
Или по-другому
Нечётная фу́нкция — функция, симметричная относительно центра координат, а чётная — функция, симметричная относительно оси ординат.
Содержание |
[править] Определения
- Функция
называется нечётной, если справедливо равенство
- Функция f называется чётной, если справедливо равенство
- Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.
[править] Свойства
- График нечётной функции симметричен относительно начала координат O.
- График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy.
- Произвольная функция
может быть представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
- f(x) = g(x) + h(x),
где
- Функция
— единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной. - Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
- Произведение или дробь двух нечётных функций чётно.
- Произведение или дробь двух чётных функций чётно.
- Произведение или дробь нечётной и чётной функций нечётно.
- Композиция двух нечётных функция нечётна.
- Композиция двух чётных функций чётна.
- Композиция чётной функции с нечётной чётна.
- Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
- Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
- Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
- То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
- Производная чётного порядка сохраняет чётность.
[править] Примеры
[править] Нечётные функции
- Нечётная степень
где
— произвольное целое число. - Синус
. - Тангенс
.
[править] Чётные функции
- Чётная степень
где
— произвольное целое число. - Косинус
.
[править] Вариации и обобщения
- Понятие чётности и нечётности функций естественно обобщаются на случай отображений между векторными пространствами.
![f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in [-X,X].](http://upload.wikimedia.org/math/f/6/a/f6ab611fbaf32ad9e732deb96e3fb9ca.png)
![f(-x) = f(x),\quad \forall x \in [-X,X].](http://upload.wikimedia.org/math/7/1/2/712740b91f011d49b277240b725bef17.png)


