Чётность функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Нечётные и чётные функции»)
Перейти к: навигация, поиск

Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xn чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

f(x) = x — пример нечётной функции.
f(x) = x^2 — пример чётной функции.
f(x) = x^3, нечётная
f(x) = x^3+1 ни чётная, ни нечётная.
  • Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно центра координат).
  • Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно оси ординат).
  • Ни чётная ни нечётная функция (функция общего вида) — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Строгое определение[править | править исходный текст]

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения X \subset \mathbb{R}, например, отрезка или интервала.

  • Функция f называется чётной, если справедливо равенство
f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.
  • Функция f:X \to \mathbb{R} называется нечётной, если справедливо равенство
f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.
  • Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными ни нечётными (или функциями общего вида).

Свойства[править | править исходный текст]

  • График нечётной функции симметричен относительно начала координат O.
  • График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy.
  • Произвольная функция f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
f(x) = g(x) + h(x),
где
g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}.
  • Функция f(x) \equiv 0 — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
  • Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
  • Произведение двух функций одной чётности чётно.
  • Произведение двух функций разной чётности нечётно.
  • Композиция двух нечётных функций нечётна.
  • Композиция чётной функции с чётной или нечётной функцией чётна.
  • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).
  • Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
  • Важное соотношение для несобственных интегралов от четных функций:
 
\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\; dx = 2 \int\limits_{0}^{\infty}f(x)\; dx = 2 \int\limits_{-\infty}^{0}f(x)\; dx.
Соответственно, для интегралов от нечётных функцией выполняется равенство
 
\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\; dx = 0.

Примеры[править | править исходный текст]

Нечётные функции[править | править исходный текст]

Чётные функции[править | править исходный текст]