Чётность функции

Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xⁿ чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

$f(x) = x$ — пример нечётной функции.

$f(x) = x^2$ — пример чётной функции.

$f(x) = x^3,$ нечётная

$f(x) = x^3+1$ ни чётная, ни нечётная.

Другие определения:

• Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).
• Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).
• Индифферентная функция (функция общего вида) — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Определения

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения $X \subset \mathbb{R}$, например, отрезка или интервала.

• Функция $f$ называется чётной, если справедливо равенство

$f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.$

• Функция $f:X \to \mathbb{R}$ называется нечётной, если справедливо равенство

$f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.$

• Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется индифферентной

(или функцией общего вида).

Свойства

• График нечётной функции симметричен относительно начала координат $O$.
• График чётной функции симметричен относительно оси ординат $Oy$.
• Произвольная функция $f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

$f(x) = g(x) + h(x),$

где

$g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}.$

• Функция $f(x) \equiv 0$ — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
• Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
• Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
• Произведение двух функций одной чётности чётно.
• Произведение двух функций разной чётности нечётно.
• Композиция двух нечётных функций нечётна.
• Композиция чётной функции с чётной/нечётной чётна.
• Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).
• Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
  • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
• Производная чётного порядка имеет ту же чётность, что и первоначальная функция.
• Важное соотношение для несобственных интегралов от четных

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm dx = 2 \int\limits_{0}^{\infty}f(x)\mathrm dx = 2 \int\limits_{-\infty}^{0}f(x)\mathrm dx$

и нечетных функций соответственно.

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm dx = 0$

Примеры

Нечётные функции

• Нечётная степень $f(x) = x^{2k+1},\quad x\in \mathbb{R}$ где $k\in \mathbb{Z}$ — произвольное целое число.
• Синус $f(x) = \sin x,\quad x \in \mathbb{R}$.
• Тангенс $f(x) = \operatorname{tg} x,\quad x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Чётные функции

• Чётная степень $f(x) = x^{2k},\quad x\in \mathbb{R}$ где $k\in \mathbb{Z}$ — произвольное целое число.
• Косинус $f(x) = \cos x,\quad x \in \mathbb{R}$.
• Абсолютная величина (модуль) $f(x)=|x|$.

Вариации и обобщения

• Понятие чётности и нечётности функций естественно обобщаются на случай отображений между векторными пространствами.