Формула Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Геометрический смысл формулы Эйлера

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа x выполнено следующее равенство:

~e^{ix}=\cos x+i\sin x,

где e — основание натурального логарифма,

i — мнимая единица.

История[править | править исходный текст]

Формула Эйлера впервые была приведена в книге «Гармония мер» английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора. Котс открыл формулу около 1714 года и выразил её в логарифмической форме:

~\ln(\cos x+i\sin x)=i x.

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя у Г. Весселя.

Производные формулы[править | править исходный текст]

При помощи формулы Эйлера можно определить функции \sin и \cos следующим образом:

\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},
\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть x=iy, тогда:

\sin iy=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\mathop{\mathrm{sh}}\,y,
\cos iy=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\mathop{\mathrm{ch}}\,y.

Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

e^{i\pi}+1=0

является частным случаем формулы Эйлера при x=\pi.

Применение в комплексном анализе[править | править исходный текст]

Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: x=a+ib=|x|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|x|e^{i\varphi}.

Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: x=|x|e^{i\varphi}, x^n=|x|^ne^{ni\varphi}. Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа x в степень n его расстояние до центра возводится в степень n, а угол поворота относительно оси OX увеличивается в n раз.

Формула возведения в степень верна не только для целых n, но и для вещественных. В частности, комплексная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа, что и используется при доказательстве основной теоремы алгебры: «Многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней».

Взаимосвязь с тригонометрией[править | править исходный текст]

Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путем сложения или вычитания формул Эйлера :

e^{ix} = \cos x + i \sin x \;
e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x)  = \cos x - i \sin x \;

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

 \cos(iy) =  {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y)
 \sin(iy) =  {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -{1 \over i} {e^{y} - e^{-y} \over 2} = i\sinh(y).

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Например:


\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\
& = \frac{1}{2} \left[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \right].
\end{align}

Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например:


\begin{align}
\cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} 
= \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace{(e^{ix} + e^{-ix})}_{2\cos(x)} - e^{i(n-2)x}\ \} \\
& = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x].
\end{align}

Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).

Доказательство[править | править исходный текст]

Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием рядов Тейлора. Разложим функцию e^{ix} в ряд Тейлора по степеням x. Получим:

e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \ldots=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots\right) + i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\right)

Но

1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots=\cos x

\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sin x

Поэтому ~e^{ix}=\cos x + i\sin x

ч. т. д.

Показательная форма комплексного числа[править | править исходный текст]

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число  z в тригонометрической форме имеет вид  z = r(\cos\varphi+i\sin\varphi) . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

 z = re^{i\varphi}

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь  r = |z| ,  \varphi = arg z .

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]