Угловое ускорение

Угловое ускорение
${\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\dot {\omega }}}$
Единицы измерения
СИ	рад/с2
СГС	рад/с2
Примечания
псевдовектор

Угловое ускорение — псевдовекторная физическая величина, равная первой производной от псевдовектора угловой скорости по времени

${\vec {\varepsilon }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}.$

Угловое ускорение характеризует интенсивность изменения модуля и направления угловой скорости при движении твёрдого тела.

Как приходят к понятию углового ускорения: ускорение точки твёрдого тела при свободном движении

К понятию углового ускорения можно прийти, рассматривая вычисление ускорения точки твёрдого тела, совершающего свободное движение. Скорость точки тела $B$ при свободном движении, согласно формуле Эйлера, равна

${\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\vec {AB}},$

где ${\vec {v}}_{A}$ — скорость точки тела $A$, принятой в качестве полюса; ${\vec {\omega }}$ — псевдовектор угловой скорости тела; ${\vec {AB}}$ — вектор, выпущенный из полюса в точку, скорость которой вычисляется. Дифференцируя по времени данное выражение и используя формулу Ривальса, имеем

${\vec {a_{B}}}={\vec {a_{A}}}+{\vec {\varepsilon }}\times {\vec {AB}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {AB}})$

${\vec {a_{B}}}={\vec {a_{A}}}+{\vec {a_{BA}^{rot}}}+{\vec {a_{BA}^{axis}}},$

где ${\vec {a}}_{A}$ — ускорение полюса $A$; ${\vec {\varepsilon }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}$ — псевдовектор углового ускорения. Составляющая ускорения точки $B$, вычисляемая через угловое ускорение называется вращательным ускорением точки $B$ вокруг полюса $A$

${\vec {a}}_{BA}^{\,rot}={\vec {\varepsilon }}\times {\vec {AB}}.$

Последнее слагаемое в полученной формуле, зависящее от угловой скорости, называют осестремительным ускорением ускорением точки $B$ вокруг полюса $A$

${\vec {a}}_{BA}^{\,axis}={\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {AB}}\right).$

Геометрический смысл псевдовектора углового ускорения

Псевдовектор ${\vec {\varepsilon }}$ направлен по касательной к годографу угловой скорости. Действительно, рассмотрим два значения вектора угловой скорости, в момент времени $t$ и в момент времени $t+\Delta t$. Оценим изменение угловой скорости за рассматриваемый промежуток времени $\Delta t$

$\Delta {\vec {\omega }}={\vec {\omega }}(t+\Delta t)-{\vec {\omega }}(t).$

Отнесём это изменение к тому промежутку времени, за которое оно произошло

${\frac {\Delta {\vec {\omega }}}{\Delta t}}={\vec {\varepsilon }}^{\,\,'}.$

Получившийся вектор называется вектором среднего углового ускорения. Он занимает положение секущей, пересекая годограф вектора угловой скорости в точках $M_{0}$ и $M_{1}$. Перейдём к пределу при $\Delta t\to 0$

$\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {\omega }}}{\Delta t}}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}={\vec {\varepsilon }}.$

Вектор среднего углового ускорения перейдёт в вектор мгновенного углового ускорения и займёт положение касательной в точке $M_{0}$ к годографу угловой скорости.

Выражение вектора углового ускорения через параметры конечного поворота

При рассмотрении вращения тела через параметры конечного поворота, вектор углового ускорения можно расписать формулой

${\vec {\varepsilon }}=\left(1-\cos \varphi \right)\left({\vec {u}}\times {\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}\right)+{\dot {\varphi }}\left(1+\cos \varphi \right){\frac {d{\vec {u}}}{dt}}+{\dot {\varphi }}\sin \varphi \left({\vec {u}}\times {\frac {d{\vec {u}}}{dt}}\right)+\sin \varphi \,{\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}+{\ddot {\varphi }}\,{\vec {u}},$

где ${\vec {u}}$ — орт, задающий направление оси поворота; $\varphi$ — угол, на который совершается поворот вокруг оси ${\vec {u}}$.

Угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной оси

При вращении тела вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижные точки тела $O_{1}$ и $O_{2}$, производные орта оси вращения равны нулю

${\frac {d{\vec {u}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}=0.$

В этом случае вектор углового ускорения определяется тривиально через вторую производную угла поворота

${\vec {\varepsilon }}={\ddot {\varphi }}\,{\vec {u}}$

или

${\vec {\varepsilon }}=\varepsilon \,{\vec {u}},$

где $\varepsilon ={\ddot {\varphi }}$ — алгебраическая величина углового ускорения. В этом случае псевдовектор углового ускорения, как и угловая скорость, направлен вдоль оси вращения тела. Если первая и вторая производные угла поворота имеют одинаковый знак

(${\dot {\varphi }}\,{\ddot {\varphi }}>0$),

то вектор углового ускорения и вектор угловой скорости совпадают по направлению (тело вращается ускоренно). В противном случае, при ${\dot {\varphi }}\,{\ddot {\varphi }}<0$, векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в противоположные стороны (тело вращается замедленно).

В курсе теоретической механики традиционным является подход, при котором понятие угловой скорости и углового ускорения вводится при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. При этом в качестве закона движения рассматривается зависимость от времени угла поворота тела

$\varphi =\varphi (t).$

В этом случае закон движения точки тела может быть выражен естественным способом, как длина дуги окружности, пройденная точкой при повороте тела от некоторого начального положения $\varphi _{0}=\varphi (t_{0}).$

$s(t)=R\,\left(\varphi (t)-\varphi _{0}\right),$

где $R$ — расстояние от точки до оси вращения (радиус окружности, по которой движется точка). Дифференцируя последнее соотношение по времени получаем алгебраическую скорость точки

${\frac {ds}{dt}}=v_{\tau }=R\,{\frac {d\varphi }{dt}}=\omega \,R,$

где $\omega ={\frac {d\varphi }{dt}}$ — алгебраическая величина угловой скорости. Ускорение точки тела при вращении может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорения

${\vec {a}}_{M}={\vec {a}}_{M}^{\,\tau }+{\vec {a}}_{M}^{\,n},$

причём тангенциальное ускорение получается как производная от алгебраической скорости точки

$a_{M}^{\,\tau }={\frac {dv_{\tau }}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\omega \,R\right)=R\,{\frac {d\omega }{dt}}=\varepsilon \,R,$

где $\varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}$ — алгебраическая величина углового ускорения. Нормальное ускорение точки тела может быть вычислено по формулам

$a_{M}^{\,n}={\frac {v_{\tau }^{2}}{R}}=\omega ^{2}\,R.$

Выражение псевдовектора углового ускорения через тензор поворота тела

Если поворот твёрдого тела задан тензором ранга $\left(1,\,1\right)$ (линейным оператором), выраженным, например, через параметры конечного поворота

$B_{\,m}^{\,p}=\left(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}+\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k},$

где $\delta _{\,m}^{\,p}$ — символ Кронекера; $\epsilon _{\,lkj}$ — тензор Леви-Чивиты, то, псевдовектор углового ускорения может быть вычислен по формуле

$\varepsilon ^{\,i}={\frac {1}{2}}\,\epsilon ^{ikl}\,g_{\,lp}\,\left(B_{\,m}^{'\,p}\,{\ddot {B}}_{\,k}^{\,m}+{\dot {B}}_{\,m}^{'\,p}\,{\dot {B}}_{\,k}^{\,m}\right),$

где $B_{\,m}^{'\,p}$ — тензор обратного преобразования, равный

$B_{\,m}^{'\,p}=\left(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}-\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k}.$

Литература

1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики — 10-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1986 — 416 С.
2. Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: Учебное пособие. — Брянск: БГТУ, 1997. — 197 С.