Угловая скорость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Угловая скорость
\omega
Размерность

T −1

Единицы измерения
СИ

рад/с

СГС

рад/с

Другие единицы

градус/с
об
об/мин

Угловая скорость (синяя стрелка) в одну единицу по часовой стрелке
Угловая скорость (синяя стрелка) в полторы единицы по часовой стрелке
Угловая скорость (синяя стрелка) в одну единицу против часовой стрелки

Углова́я ско́рость — векторная величина, являющаяся псевдовектором (аксиальным вектором) и характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения за единицу времени:

\omega_z=\frac{d\varphi_z}{dt},

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик или винт с правой резьбой, если бы вращался в эту сторону. Другой мнемонический подход для запоминания взаимной связи между направлением вращения и направлением вектора угловой скорости состоит в том, что для условного наблюдателя, находящегося на конце вектора угловой скорости, выходящего из центра вращения, само вращение выглядит происходящим против часовой стрелки.

Единица измерения угловой скорости, принятая в Международной системе единиц (СИ) и системе СГС — радианы в секунду.[1] В технике также используются обороты в секунду, намного реже — градусы, минуты, секунды дуги в секунду, грады в секунду. Часто в технике используют обороты в минуту — это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли просто на глаз, подсчитывая число оборотов за единицу времени.

Вектор мгновенной скорости любой точки абсолютно твёрдого тела, вращающегося с угловой скоростью \vec \omega, определяется формулой:

 \vec v = [\ \vec \omega, \vec r\ ],

где \vec r — радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определённом расстоянии (радиусе) r от оси вращения можно считать так:  v = r \omega. Если вместо радианов применять другие единицы измерения углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.

  • В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела всегда лежат в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути — если плоскость вращения заведомо известна — может быть заменена скаляром — проекцией на ось вращения, т.е. на прямую, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается. Однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трёхмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
  • Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю). Равномерное вращение является частным случаем плоского вращения.
  • Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.
  • Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчёта, отличающихся положением начала отсчёта и скоростью его движения, но двигающихся равномерно прямолинейно и поступательно друг относительно друга. Однако в этих инерциальных системах отсчёта может различаться положение оси или центра вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).
  • В случае движения точки в трёхмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат:
 \vec\omega = \frac{\vec r \times \vec v}{(\vec r,\vec r )}, где \vec r — радиус-вектор точки (из начала координат), \vec v — скорость этой точки, \vec r \times \vec v — векторное произведение, (\vec r,\vec r ) — скалярное произведение векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы \vec \omega, подходящие по определению, по-другому — произвольно — выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) — эта формула не верна для угловой скорости всего тела (так как даёт разные \vec \omega для каждой точки, а при вращении абсолютно твёрдого тела вектора угловой скорости вращения всех его точек совпадают). Однако в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.
  • При измерении угловой скорости в оборотах в секунду (об/с) модуль угловой скорости равномерного вращательного движения совпадает с частотой вращения f, измеренной в герцах (Гц), то есть в таких единицах ~~\omega = f. В случае использования обычной физической единицы угловой скорости — радианов в секунду — модуль угловой скорости численно связан с частотой вращения так: ~~\omega = {2\pi f}. Наконец, при использовании градусов в секунду численная связь с частотой вращения будет: ~~\omega = {360 f}.

Угловая скорость является аксиальным вектором (псевдовектором). При отражении осей системы координат компоненты обычного вектора (например, радиус-вектора точки) меняют знак. В то же время компоненты псевдовектора (в частности, угловой скорости) при таком преобразовании координат остаются прежними.

Связь с конечным поворотом в пространстве[править | править вики-текст]

  • Пусть поворот, изменяющийся во времени, задан величиной угла \;\theta (t) и ортом оси конечного поворота в пространстве \vec{n}(t). Тогда угловая скорость, соответствующая этому повороту, равна
\vec{\omega} = \vec{n} \dot{\theta} + \dot{\vec{n}} \sin \theta + \vec{n} \times \dot{\vec n} (1 - \cos \theta).
 \omega_i = \frac{1}{2} \varepsilon_{ijk} T_{jn} \dot{T}_{kn} .
  • Если для описания поворота используется кватернион, выражаемый через угол \;\theta и орт оси поворота \vec{n} как q = \bigl(\cos (\theta/2), \vec{n} \sin (\theta/2)\bigr), то угловая скорость находится из выражения \left(0, \vec{\omega}\right) = 2 \, \dot{q} \, \overline {q}.
  • В случае, когда поворот описывается с помощью вектора \vec{V} = \vec{n} \operatorname{tg} (\theta/4), изменяющегося во времени, обозначим \vec{W} = d \vec{V} / d t\ \bigl(W_i = d V_i / d t\bigr), а также T_{ij}^{1/2} = n_i n_j + (\delta_{ij} - n_i n_j) \cos (\theta/2) - n_k \epsilon_{ijk} \sin (\theta/2) — матрица половинного поворота \;\bigl(T_{ij}^{1/2} T_{jk}^{1/2} = T_{ik}\bigr), \;V^2 — квадрат модуля вектора \vec{V}. Тогда угловая скорость:
\omega_i = \frac{4 T_{ij}^{1/2} W_{j}}{1 + V^2}.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Радиан, как единица измерения угла, — физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости — просто 1/секунда или с−1 (читается «в секунду»).

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Лурье А. И. Аналитическая механика. — М.: ГИФМЛ, 1961. — С. 100-136. — 824 с.