Форма Маурера — Картана

Форма Маурера — Картана — определённая 1-форма на группе Ли G со значениями в её алгебре Ли, несущую основную инфинитезимальную информацию о структуре этой группы. Широко использовалась Эли Картаном как основная составляющая его метода подвижных реперов. Помимо имени Картана носит имя Людвига Маурера.

Построение

Алгебра Ли отождествляется с касательным пространством группы Ли G в единице и обозначается T_eG. Форма Маурера — Картана ω — глобально определённая на G 1-форма, представляющая собой линейное отображение касательного пространств T_gG для каждого g ∈ G в T_eG. Она задаётся как перенос вектора T_gG под действием левого сдвига на группе:

$\omega (v)=(L_{g^{-1}})_{*}v,\quad v\in T_{g}G.$

Внутренняя конструкция

Если G вложена в GL(n) с помощью матричнозначного отображения g =(g_ij), то форму ω можно записать явно как

$\omega _{g}=g^{-1}\,dg.$

В этом смысле форма Маурера — Картана — всегда левая логарифмическая производная отображения g.

Литература

• Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. -М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
• Картан Э. Ж. Геометрия римановых пространств. -M.-Л: изд-во НКТП СССР, [1928]1936
• Картан Э. Ж. Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщённые пространства. -M.-Л.: Гос.изд-во технико-теоретич. лит-ры, [1930]1933
• Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. -М.: изд-во МГУ, [1930]1963
• Картан Э. Ж. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. -М.: изд-во МГУ, [1926-1927,1945]1962
• Картан Э. Ж. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. -М.: изд-во ИЛ, 1949