Формула Гаусса — Остроградского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фо́рмула Острогра́дского — математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью:

\iiint\limits_V\mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV=\iint\limits_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset\;\mathbf F\cdot\mathbf{n}\,dS,

то есть интеграл от дивергенции векторного поля \mathbf F, распространённый по некоторому объёму V, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объём.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

\int\left(\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz}\right)\omega=\int(P\cos\lambda+Q\cos\mu+R\cos\nu)s,

где \omega и s — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. В современной записи \omega=d\Omega — элемент объёма, s=dS — элемент поверхности. P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z) — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

История[править | править исходный текст]

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762[1].

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830 гг.) на примере задач электродинамики[2].

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году[2]. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от n-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации n-кратного интеграла.

За рубежом формула как правило называется «теоремой о дивергенции» (англ. divergence theorem), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса—Остроградского».

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. 1’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
  • Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. 1’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).

Примечания[править | править исходный текст]

  1. В работе по теории звука в 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы: Lagrange (1762) "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" (Новые исследования о природе и распространении звука), Miscellanea Taurinensia (Mélanges de Turin), 2: 11 - 172. Репринтное издание: "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" в кн.: J.A. Serret, ed., Oeuvres de Lagrange, (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151-316; на страницах 263-265 Лагранж преобразовывает тройные интегралы в двойные с помощью интегрирования по частям.
  2. 1 2 Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150-151.