Теорема Стокса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Общая формулировка[править | править вики-текст]

Пусть на ориентируемом многообразии M размерности n заданы ориентируемое p-мерное подмногообразие \sigma и дифференциальная форма \omega степени p-1 класса C^1 (1\leqslant p\leqslant n). Тогда, если граница подмногообразия \partial\sigma положительно ориентирована, то

\int\limits_\sigma d\omega=\int\limits_{\partial\sigma}\omega,

где d\omega обозначает внешний дифференциал формы \omega.

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия M.

Частные случаи[править | править вики-текст]

Формула Ньютона — Лейбница[править | править вики-текст]

Пусть дана кривая l, соединяющая две точки a и b (одномерная цепь) в многообразии произвольной размерности. Форма \omega нулевой степени класса C^1 — это дифференцируемая функция f. Формула Стокса тогда записывается в виде

\int\limits_l df=\int\limits_l f'\,dx=\int\limits_a^b f'\,dx=f(b)-f(a).

Теорема Грина[править | править вики-текст]

Пусть M — плоскость, а D — некоторая её ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Форма первой степени, записанная в координатах x и y — это выражение L\,dx+M\,dy, и для интеграла этой формы по границе области D верно

\int\limits_{\partial D} \left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint\limits_D\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\right)\,dx\,dy.

Независимое доказательство формулы Грина приведено в её основной статье.

Формула Кельвина — Стокса[править | править вики-текст]

Пусть \Sigma — кусочно-гладкая поверхность (p=2) в трёхмерном евклидовом пространстве (n=3), \mathbf{F} — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура \partial\Sigma равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность \Sigma, ограниченную контуром:

\int\limits_\Sigma\mathrm{rot}\,\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Sigma}=\int\limits_{\partial\Sigma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}

или в координатной записи:

\iint\limits_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\,dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\,dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy=\int\limits_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.

Формула Остроградского — Гаусса[править | править вики-текст]

Пусть теперь \partial V — кусочно-гладкая гиперповерхность (p=n-1), ограничивающая некоторую область V в n-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области \partial V:

\int\limits_V\mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV=\int\limits_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Sigma}.

В трёхмерном пространстве (n=3) с координатами \{x, y, z\} это эквивалентно записи:

\int\limits_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Sigma}=\int\limits_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dV

или

\iint\limits_{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint\limits_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dx\,dy\,dz.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]