Поток векторного поля

В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий:

1. Поток векторного поля через поверхность (см. ниже),

2. Поток векторного поля $\vec A$ — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов $\Gamma_t$, определяемых дифференциальным уравнением

$\frac{d\Gamma_t(x)}{dt}=\vec A(\Gamma_t(x))$

(см. фазовый поток).

Поток векторного поля через поверхность

Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности $S$. По определению

${{\Phi }_{F}}=\int\limits_{S}{\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS}$

где $\mathbf{F} = \mathbf{F(X)}$ — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), $\mathbf{n}$ — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы $\mathbf{n}$ было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), $dS$ — элемент поверхности.

• В трёхмерном случае $\mathbf{X} = (x,y,z), \mathbf{F} = \mathbf{F(X)} = \left( F_{x}(\mathbf{X}),F_{y}(\mathbf{X}),F_{z}(\mathbf{X}) \right)$, а поверхностью является обычная двумерная поверхность.

Иногда, особенно в физике, применяется обозначение

$d\mathbf{S}=\mathbf{n}dS$

тогда поток записывается в виде

${{\Phi }_{F}}=\int\limits_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}$.

Физическая интерпретация

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения $\mathbf{v} = \mathbf{v}(x, y, z)$. Тогда объем жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность $S$, будет равен потоку векторного поля $\mathbf{v}$ через поверхность $S$.

См. также

• Плотность потока
• Теорема Гаусса
• Векторная трубка