Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 8 августа 2017 года; проверки требуют 5 правок.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 8 августа 2017 года; проверки требуют 5 правок.
Формула суммирования Абеля, введённая норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем, часто применяется в теории чисел для оценки сумм конечных и бесконечных рядов.
Представим обе части равенства как функции от . Во-первых, заметим, что при равенство верно (интеграл обращается в ноль). Во-вторых, при нецелых обе части можно продифференцировать, получив верное равенство. Наконец, при целом левая часть имеет скачок , такой же скачок имеет функция , а интеграл непрерывен, то есть имеет скачок равный нулю. Таким образом, формула доказана для всех .
Если частичные суммы ряда ограничены, а , то предельным переходом можно
получить следующее равенство
Эту формулу можно использовать для определения дзета-функции в области поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что имеет простой полюс с вычетом 1 в точке s = 1.