Дзета-функция Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дзета-функция Римана $ζ(s)$ определяется с помощью ряда Дирихле:

$\zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots$ .

В области $\left\{ s\mid\operatorname{Re}\,s > 1\right\}$ , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

$\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}$ ,

где произведение берётся по всем простым числам $p$ . Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

[править] Свойства

Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:

$2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}$ , где $B 2 m$ — число Бернулли.
- В частности, $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ , $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ .
Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа $ζ(3)$ (Роже Апери, 1978). Есть также результаты, показывающие, что среди некоторого множества значений дзета-функции в следующих нечетных точках есть хотя бы одно иррациональное.
При
- $\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}$ , где $μ(n)$ — функция Мёбиуса
- $\zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}$ , где $τ(n)$ — число делителей числа $n$
- ${\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s}$ , где $ν(n)$ — число простых делителей числа $n$
$ζ(s)$ имеет в точке $s = 1$ , простой полюс с вычетом, равным 1.
Дзета-функция при $s\ne 0, s\ne 1$ удовлетворяет уравнению:

$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$ ,

где

Γ(z)

— Гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.

Для функции

$\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)$

введенной Риманом для исследования

ζ(s)

и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид

$\ \xi(s)=\xi(1-s)$

[править] Нули дзета-функции

Основная статья: Гипотеза Римана

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости $\operatorname{Re}\,s< 0$ , функция $ζ(s)$ имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: $0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots$ . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее $\zeta(s)\not=0$ при вещественных $s\in (0,1)$ . Таким образом, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами, обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали $\operatorname{Re}\,s=1/2$ и лежат в полосе $0\leqslant\operatorname{Re}\,s\leqslant 1$ , которая называется критической полосой. Гипотеза Римана состоит в том, что все «нетривиальные» нули дзета-функции находятся на прямой $1 / 2 + i t$ .

[править] История

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.

[править] Ссылки

Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein Riemann Zeta Function на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Дзета-функция Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Свойства

[править] Нули дзета-функции

[править] История

[править] Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках