Дзета-функция Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Качественный график дзета-функции Римана на действительной оси. Слева от нуля значения функции увеличены в 100 раз для наглядности

Дзета-функция Римана — функция \displaystyle \zeta(s) комплексного переменного s = \sigma + i t, при \sigma > 1 определяемая с помощью ряда Дирихле:

\zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots,

где \displaystyle s \in \mathbb{C}.

В заданной области \sigma > 1 ~(\left\{ s\mid\operatorname{Re}\,s > 1\right\}) этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы.

Дзета-функция Римана для вещественных s > 1

Тождество Эйлера[править | править исходный текст]

В исходной области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} ,

где произведение берётся по всем простым числам \displaystyle p.

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства[править | править исходный текст]

Дзета-функции Римана в комплексной плоскости
  • Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
    2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}, где \displaystyle B_{2m} — число Бернулли.
    • В частности, \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6},\ \ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}.
  • Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Также доказано, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы одно иррациональное.[1]
  • При \operatorname{Re}\,s> 1
  • \displaystyle \zeta(s) имеет в точке \displaystyle s=1 простой полюс с вычетом, равным 1.
  • Дзета-функция при \displaystyle s\ne 0, s\ne 1 удовлетворяет уравнению:
    \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left( {\pi s \over 2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s),
где \displaystyle \Gamma(z) — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.
  • Для функции
    \xi(s)=\frac{1}{2}\pi^{-s/2}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s),
введённой Риманом для исследования \displaystyle \zeta(s) и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:
\displaystyle \ \xi(s)=\xi(1-s).

Нули дзета-функции[править | править исходный текст]

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости \operatorname{Re}\,s < 0, функция \zeta(s) имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: 0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, \zeta(s) \neq 0 при вещественных s \in (0,1). Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали \operatorname{Re}\,s = \frac 1 2 и лежат в полосе 0 \leqslant \operatorname{Re}\,s \leqslant 1, которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой \operatorname{Re}\,s = \frac 1 2.

Обобщения[править | править исходный текст]

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.
которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

Аналогичные конструкции[править | править исходный текст]

В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора.[2] Пусть A — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр \mathrm{spec} A = \mathrm{diag} \{\lambda_1, \lambda_2, \dots \}. Причём существует вещественное число \alpha > 0 такое, что оператор (I + A)^{- \alpha} имеет след. Тогда дзета-функция \zeta_A(s) оператора A определяется для произвольного комплексного числа s, лежащего в полуплоскости \mathrm{Re} s > \alpha, может быть задана сходящимся рядом

\zeta_A(s) = \sum_{\lambda_n \neq 0} \frac{1}{\lambda_n^s}

Если заданная таким образом функция допускает продолжение аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки s = 0, то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора A в соответствии с формулой

\det \,'A = e^{- \frac{d\zeta_A}{ds}(0)}.

История[править | править исходный текст]

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.

Ссылки[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0

Примечания[править | править исходный текст]

  1. В. В. Зудилин Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках // УМН. — 2001. — Т. 56. — № 2(338). — С. 215–216.
  2. Тахтаджян, 2011, с. 348