Постоянная Эйлера — Маскерони

Иррациональные числа γ — ζ(3) — √2 — √3 — √5 — φ — α — e — π — δ

Постоянная Э́йлера — Маскеро́ни или постоянная Эйлера — математическая константа, определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа:

$\gamma = \lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=1}^{n}{1\over k} - \ln n \right)=\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac12+\frac13+\ldots+\frac1n - \ln n \right)$

Константа введена в 1735 году Леонардом Эйлером, он же предложил для неё обозначение C, которое до сих пор иногда применяется. Итальянский математик Лоренцо Маскерони в 1790 году вычислил 32 знака константы и предложил современное обозначение $\gamma$ (греческая буква «гамма»).

Значение константы:

$\gamma$ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495…

В теории чисел нередко используется константа

e^γ ≈ 1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343…

$e^{\gamma} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/4} \left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/5} \cdots$

Свойства

• Постоянная Эйлера может быть выражена как интеграл:

  $\gamma = -\int\limits_0^{\infty}\frac{\ln x}{e^x}\,dx$

  $\gamma = 1-\int\limits_0^1\left\{\frac{1}{x}\right\}dx = 1-\int\limits_{1}^\infty\frac{\{x\}}{x^2}\,dx$, где $\left\{t\right\}$ — дробная часть числа $t$.

  $\gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}=\int\limits_0^\infty { e^{-x} \ln^2 x }\,dx.$

  $-\tfrac14(\gamma+2 \ln 2)\sqrt{\pi} = \int\limits_0^\infty { e^{-x^2} \ln x }\,dx$

• Также она выражается через производную гамма-функции:

  $\gamma = -\Gamma^'(1) = -\Psi(1)$.

• До сих пор не выявлено, является ли это число рациональным. Однако теория цепных дробей показывает, что если постоянная Эйлера — рациональная дробь, её знаменатель больше $10^{242080}$
• $\begin{align} \gamma &= \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1] \\ &= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ] \\ &= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln 2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ].\end{align}$

• $\gamma = \lim\limits_{m \to \infty}\sum\limits_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\ln(k!)$.
• $\gamma = \lim_{n \to \infty} \left \{\frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right\}$
• ${\gamma + \zeta(2) = \sum_{k=2}^\infty\left(\frac1{\lfloor \sqrt{k} \rfloor^2} - \frac1{k}\right) = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k - \lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}{k\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2} = \frac12 + \frac23 + \frac1{2^2} \sum_{k=1}^{2 \times 2} \frac k {k+2^2} + \frac1{3^2} \sum_{k=1}^{3 \times 2} \frac k {k+3^2} + \dots.}$
• $2\gamma = \lim\limits_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)} \right\}$
• $\frac{\pi^2}{3\gamma^2} = \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)} \right\}.$
• $\gamma = \ln\pi - 4\ln\Gamma(\tfrac34) + \frac4{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1}.$
• $e^{-\gamma} = \lim\limits_{x\to\infty}\ln x\prod\limits_{p\leqslant x}\left(1-\frac{1}{p}\right).$
• $\sum\limits_{p\leqslant x}\frac{\ln p}{p-1}=\ln x - \gamma +o(1).$

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера