Постоянная Эйлера — Маскерони

Иррациональные числа ζ(3) — √2 — √3 — √5 — φ — α — e — π — δ

Постоянная Э́йлера — Маскеро́ни или постоянная Эйлера — математическая константа, определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа:

$\gamma = \lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=1}^{n}{1\over k} - \ln n \right)$

Константа введена в 1735 году Леонардом Эйлером, он же предложил для неё обозначение C, которое до сих пор иногда применяется. Итальянский математик Лоренцо Маскерони в 1790 году вычислил 32 знака константы и предложил современное обозначение $\gamma$ (греческая буква «гамма»).

Значение константы:

$\gamma$ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495…

В теории чисел нередко используется константа

e^γ ≈ 1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343…

Свойства

• Постоянная Эйлера может быть выражена как интеграл:

  $\gamma = -\int\limits_0^{\infty}\frac{\ln x}{e^x}\,dx$

  $\gamma=1-\int\limits_0^1\left\{\frac{1}{x}\right\}dx = 1-\int\limits_{1}^\infty\frac{\{x\}}{x^2}\,dx$, где $\left\{t\right\}$ — дробная часть числа $t$.

• Также она выражается через производную гамма-функции:

  $\gamma = -\Gamma^'(1)$.

• До сих пор не выявлено, является ли это число рациональным. Однако теория цепных дробей показывает, что если постоянная Эйлера — рациональная дробь, её знаменатель больше $10^{242080}$
• $\gamma = \lim\limits_{m \to \infty}\sum\limits_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\ln(k!)$.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера