Постоянная Эйлера — Маскерони

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Постоянная Э́йлера — Маскеро́ни или постоянная Эйлера — математическая константа, определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа:

$\gamma = \lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=1}^{n}{1\over k} - \ln n \right)$

Константа введена Леонардом Эйлером в 1735, который предложил для неё обозначение C, которое до сих пор иногда применяется. Итальянский математик Лоренцо Маскерони в 1790 вычислил 32 знака константы и предложил современное обозначение $γ$ (греческая буква «гамма»).

Значение константы:

γ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495…

В теории чисел нередко используется константа

e^γ ≈ 1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343…

[править] Свойства

Постоянная Эйлера может быть выражена как интеграл:

$\gamma = -\int\limits_0^{\infty}\frac{\ln x}{e^x}\,dx$
Также она выражается через производную Гамма-функции,

$γ = - Γ' (1)$ .
До сих пор не выявлено, является ли это число рациональным. Однако теория цепных дробей показывает, что если постоянная Эйлера — рациональная дробь, её знаменатель больше $10242080$ .