Центральный биномиальный коэффициент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике nцентральный биномиальный коэффициент определяется следующим выражением в терминах биномиальных коэффициентах

{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} для всех n \geq 0.

Они получили своё название в связи с тем, что они находятся в точности посередине чётных рядов в треугольнике Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов выписаны ниже, начиная с n = 0:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … последовательность A000984 в OEIS

Свойства[править | править исходный текст]

Производящая функция:

\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots.


По формуле Стирлинга получаем:

 {2n \choose n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} при n\rightarrow\infty.


Полезные ограничения:

\frac{4^n}{\sqrt{4n}} \leq {2n \choose n} \leq \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}} для каждого n \geq 1


Если нужна большая точность:

{2n \choose n} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\left(1-\frac{c_n}{n}\right) где \frac{1}{9} < c_n < \frac{1}{8} для всех n \geq 1.


С этим понятием тесно связаны т. н. числа Каталана, Cn. Их формула:

C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = {2n \choose n} -
        {2n \choose n+1} для каждого n \geq 0.

Можно взять небольшое обобщение центральных биномиальных коэффициентов:  { m \choose {\lfloor \frac{m}{2} \rfloor} } Это утверждение — по сути своей, частный случай предыдущего, когда m = 2n, то есть, когда m чётно.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]