Бета-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике бета-функцией (Β-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

,

определённая при , .

Бета-функция была изучена Эйлером и Лежандром, а название ей дал Жак Бине.

Содержание 1 Свойства 2 Производные 3 Неполная бета-функция 3.1 Свойства I(x) 4 Применение 5 См. также

[править] Свойства

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

Β(x,y) = Β(y,x).

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

,

где Γ(x) — Гамма-функция;

;

;

,

где (x)_n — нисходящий факториал, равный .

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

.

[править] Производные

Частные производные у бета-функции следующие:

,

где ψ(x) — дигамма-функция.

[править] Неполная бета-функция

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее определённый интеграл неопределённым:

.

При x = 1 неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

.

[править] Свойства I(x)

;

;

.

[править] Применение

С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эта особенность подмечена Габриэле Венециано в 1968 году. В 1970 году Ёитиро Намбу, Холгер Бен Нильсен и Леонард Сасскинд сумели выявить физический смысл, скрывавшийся за бета-функцией. Это положило начало теории струн.

[править] См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера