Цепь Паппа Александрийского

Цепь Паппа Александрийского

Цепь Паппа Александри́йского — кольцо внутри двух касающихся кругов, заполненных попарно касающимися кругами меньших диаметров. Исследована Паппом Александрийским в III веке н. э.

Построение

Возьмём точки $A,B,C$ в таком порядке на одной прямой и построим окружности $C_{U}$ и $C_{V}$ с диаметрами $AB$ и $AC$ соответственно, центры которых обозначим $U$ и $V$. Фигура, ограниченная окружностями, схожа с арбелосом (но её граница состоит из двух окружностей вместо трёх дуг) и допускает цепь окружностей, так же как и в теореме Паппа Александрийского. При этом каждый круг из цепи касается окружности $C_{U}$ снаружи, окружности $C_{V}$ изнутри и двух соседних окружностей цепи.

Свойства

• Центры $P_{n}$ кругов цепи расположены на общем эллипсе, фокусами которого являются центры $U$ и $V$ окружностей объемлющей фигуры, поскольку сумма расстояний от центра n-го до точек $U$ и $V$ не зависит от n:

${\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {U} }}+{\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {V} }}=\left(r_{U}+r_{n}\right)+\left(r_{V}-r_{n}\right)=r_{U}+r_{V}$

• Если $r=AC/AB$, то центр $P_{n}$ и радиус $r_{n}$ n-го круга цепи задаются формулами

$\left(x_{n},y_{n}\right)=\left({\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}~,~{\frac {nr(1-r)}{n^{2}(1-r)^{2}+r}}\right),$

$r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}$

См. также

• Арбелос
• Окружность Форда
• Поризм Понселе
• Поризм Штейнера
• Сетка Аполлония
• Цепь Понселе

Литература

• Ogilvy, C. S. Excursions in Geometry (неопр.). — Dover, 1990. — С. 54—55. — ISBN 0-486-26530-7.
• Leon Bankoff. How did Pappus do it? // The Mathematical Gardner / D. A. Klarner. — Boston: Prindle, Weber, & Schmidt, 1981. — P. 112–118.
  • Леон Банков. 2.6. Как Папп доказал свою теорему? // Математический цветник / Сост. и ред. Д. А. Кларнер; пер. с англ. Ю. А. Данилова; под. ред., с предисл. и прилож. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1983. — С. 143—152.
• Johnson, R. A. Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (англ.). — reprint of 1929 edition by Houghton Miflin. — New York: Dover Publications, 1960. — P. 116—117. — ISBN 978-0-486-46237-0.
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry (англ.). — New York: Penguin Books, 1991. — P. 5—6. — ISBN 0-14-011813-6.

Ссылки

• Floer van Lamoen and Eric W. Weisstein. Pappus Chain (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Tan, Stephen Arbelos  (неопр.).