Циркуляция векторного поля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Циркуля́цией ве́кторного по́ля по данному замкнутому контуру Γ называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по Γ. По определению

C=\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}d\mathbf{l}}=\oint\limits_{\Gamma }{F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz},

где \mathbf{F}=\{F_{x},F_{y},F_{z}\} — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ, d\mathbf{l}=\{dx,dy,dz\} — бесконечно малое приращение радиус-вектора \mathbf{l} вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Приведенное выше определение справедливо для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.

Свойства циркуляции[править | править исходный текст]

Свойство аддитивности циркуляции: циркуляция по контуру \Gamma есть сумма циркуляций по контурам \Gamma _{1} и \Gamma _{2}, то есть C = C_1 + C_2

Аддитивность[править | править исходный текст]

Циркуляция по контуру, ограничивающему несколько смежных поверхностей, равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим каждую поверхность в отдельности, то есть

C=\sum\limits_{i}{C_{i}}.

Формула Стокса[править | править исходный текст]

Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора \operatorname{rot}\mathbf{F} через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}d\mathbf{l}=\iint\limits_{S}{\operatorname{rot}}}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS,

где \operatorname{rot}\mathbf{F}=[\nabla ,\mathbf{F}]=\left| \begin{matrix}
   \mathbf{e}_{x} & \mathbf{e}_{y} & \mathbf{e}_{z}  \\
   \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}  \\
   F_{x} & F_{y} & F_{z}  \\
\end{matrix} \right| — ротор (вихрь) вектора F.

В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива теорема Грина

\oint\limits_{\Gamma}{F_{x}dx+F_{y}dy}=\iint\limits_{\Gamma^\circ}{\left( \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} \right)dxdy},

где \Gamma^\circ — плоскость, ограничиваемая контуром \Gamma (внутренность контура).

Физическая интерпретация[править | править исходный текст]

Физическая интерпретация циркуляции: Работа поля по замкнутому контуру

Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.

\forall \Gamma \subset D:\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}(\mathbf{r})d\mathbf{l}}=0\Leftrightarrow \forall \mathbf{r}\in D:\operatorname{rot}\mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{0}.

Историческая справка[править | править исходный текст]

Термин «циркуляция» был первоначально введен в гидродинамике для расчета движения жидкости по замкнутому каналу. Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости. Выберем произвольный контур Γ. Мысленно представим, что мы (мгновенно) заморозили всю жидкость в объеме, за исключением тонкого канала постоянного сечения, включающего в себя контур Γ. Тогда, в зависимости от первоначального характера течения жидкости, она будет либо неподвижной в канале, либо двигаться вдоль контура (циркулировать). В качестве характеристики такого движения берут величину равную произведению средней скорости движения жидкости по каналу u на длину контура l:

C = ul,

поскольку именно скорость u установится в этом случае в итоге всюду в канале, а величина циркуляции C даст (обобщённый) импульс для жидкости единичной плотности, сопряженный (обобщенной) координате, характеризующей положение жидкости как целого в канале, соответствующей, несколько упрощая, положению одиночной «пылинки» в жидкости, измеренному по линейке, изгибающейся вдоль канала.

Так как при затвердевании стенок канала нормальная к контуру компонента скорости будет погашена (вообразим, что это происходит перед тем, как тангенциальная скорость в канале всюду становится одинаковой вследствие несжимаемости жидкости), жидкость по каналу будет сразу после затвердевания двигаться с тангенциальной составляющей исходной скорости v_{\tau }. Тогда циркуляцию можно представить в виде

C=\oint\limits_{\Gamma }{v_{\tau }dl}=\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{v}d\mathbf{l}},

где dl — элемент длины контура.

Позже понятие «циркуляция» было распространено на любые векторные поля, даже такие, в которых «циркулировать» в буквальном смысле нечему.

Литература[править | править исходный текст]