Числа Ризеля

Нерешённые проблемы математики: Чему равно наименьшее число Ризеля?

В математике число Ри́зеля — нечётное натуральное число $k$, для которого целые числа вида $k\cdot 2^{n}-1$ составные для всех натуральных чисел $n.$ В 1956 году Ханс Ризель (швед. Hans Riesel) доказал, что существует бесконечное число целых чисел $k$ таких, что $k\cdot 2^{n}-1$ является составным для любого целого $n$. Он показал, что этим свойством обладает число 509 203, а также 509 203 плюс любое натуральное число, умноженное на 11 184 810. То, что какое-либо число является числом Ризеля, может быть показано нахождением покрывающего множества простых чисел, на которые будет делиться любой член последовательности. Известные числа Ризеля меньше одного миллиона имеют следующие покрывающие множества:

• 509 203·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
• 762 701·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
• 777 149·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
• 790 841·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
• 992 077·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Натуральное число может быть одновременно числом Ризеля и числом Серпинского, например 143 665 583 045 350 793 098 657.

Проблема Ризеля

Проблема Ризеля состоит в определении наименьшего числа Ризеля. Так как ни для одного числа $k<509203$ не найдено покрывающее множество, то предполагается, что 509 203 является наименьшим числом Ризеля.

Поиском кандидатов на числа Ризеля занимается проект добровольных распределённых вычислений PrimeGrid, где рассчитываются значения последовательностей $k\cdot 2^{n}-1$ для всех натуральных $n$, начиная с 1. Изначально, в марте 2010 года был известен 101 кандидат на числа Ризеля. Если в такой последовательности оказывается простое число, то этот кандидат исключается из рассмотрения.

По состоянию на ноябрь 2023 года осталось 42 значения $k<509203$ для которых последовательность содержит только составные числа для всех проверенных значений $n$. Вот они:

23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743.

См. также

• Экспериментальная математика
• Открытые математические проблемы
• Открытые проблемы в теории чисел
• BOINC
• Числа Мерсенна

Литература

• Riesel, Hans. Några stora primtal (швед.) // Elementa. — 1956. — Bd. 39. — S. 258-260.
• PrimeGrid’s The Riesel Problem (англ.). Дата обращения: 17 сентября 2012. Архивировано из оригинала 18 октября 2012 года.
• Problem 29.- Brier Numbers (англ.). Дата обращения: 17 сентября 2012. Архивировано из оригинала 17 июля 2012 года.
• Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory (англ.). — Берлин: Springer-Verlag, 2004. — 120 p. — ISBN 0-387-20860-7.
• Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records (англ.). — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996. — ISBN 0-387-94457-5.