Число мостов (теория узлов)

Трилистник, нарисованный с числом мостиков 2

В теории узлов число мостов — это инвариант узла, определяемый как минимальное число мостов, требуемых для представления узла. При этом мост может быть переброшен не только через одну линию, но и через две, три и более.

Определение

Если задан узел или зацепление, нарисуем его диаграмму с соглашением, что разрыв линии означает проход снизу. Назовём дугу на этой диаграмме мостом, если она содержит по меньшей мере один проход сверху, не содержит проходов снизу (то есть непрерывна) и не может быть продолжена до большей дуги с теми же свойствами. Тогда число мостов узла можно определить как минимум числа мостов по всем диаграммам узла. Число мостов впервые исследовал Хорст Шуберт (англ. Horst Schubert) в 1950-х годах.

Число мостов можно также определить геометрически — это минимальное число локальных максимумов проекции узла на вектор, где минимум берётся по всем проекциям и по всем представлениям узла.

Свойства

• Число мостов нетривиального узла не может быть меньше 2.

• Любой узел, число мостов которого равно n, можно разложить на 2 тривиальных n-плетения.
  • В частности, узлы с двумя мостами являются рациональными.

• Если узел K является композицией узлов K₁ и K₂, то число мостов K на единицу меньше суммы числа мостов K₁ и K₂. Иначе говоря, число мостов минус 1 является аддитивной функцией узла.

Другие числовые инварианты

• Число пересечений
• Коэффициент зацепления
• Число отрезков
• Число развязывания

Литература

• Colin C. Adams. The Knot Book. — American Mathematical Society, 1994. — ISBN 9780821886137.
• Jennifer Schultens. Introduction to 3-manifolds. — American Mathematical Society, Providence, RI, 2014. — Т. 151. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 978-1-4704-1020-9.
• Jennifer Schultens. Additivity of bridge numbers of knots // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 2003. — Т. 135, вып. 3. — doi:10.1017/S0305004103006832.
• H. Schubert. Knoten mit zwei Brücken // Math. Z. — 1956. — Вып. 65. — С. 133—170.

Дополнительная литература

• Peter Cromwell. Knots and Links. — Cambridge, 1994. — ISBN 9780521548311..