Теория кос

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Пример косы с тремя дугами.

Теория кос — раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы кос, составленные из их классов эквивалентности.

Определение косы[править | править исходный текст]

Коса из n нитей — объект, состоящий из двух параллельных плоскостей P_0 и P_1 в трёхмерном пространстве \R^3, содержащих упорядоченные множества точек a_1,a_2,\dots,a_n\in P_0 и b_1,b_2,\dots,b_n\in P_1, и из n непересекающихся между собой простых дуг l_1,l_2,\dots,l_n, пересекающих каждую параллельную плоскость P_t между P_0 и P_1 однократно и соединяющих точки \{a_i\} с точками \{b_i\}.

Обычно считается, что точки a_1,a_2,\dots,a_n лежат на прямой l_0 в P_0, а точки b_1,b_2,\dots,b_n на прямой l_1 в P_1, параллельной l_0, причем a_i расположены под b_i для каждого i.

Косы изображаются в проекции на плоскость, проходящую через l_0 и l_1, эта проекция может быть приведена в общее положение так, что имеется только конечное число двойных точек, попарно лежащих в разных уровнях, и пересечения трансверсальны.

Группа кос[править | править исходный текст]

Во множестве всех кос с n нитями и с фиксированными P_0, P_1, \{a_i\}, \{b_i\} вводится отношение эквивалентности. Оно определяется гомеоморфизмами h:\Pi\to \Pi, где \Pi — область между P_0 и P_1, тождественными на P_0\cup P_1. Косы \alpha и \beta эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм h, что h(\alpha)=\beta.

Классы эквивалентности, далее также называемые косами, образуют группу кос B(n). Единичная коса — класс эквивалентности, содержащий косу из n параллельных отрезков. Коса \alpha^{-1}, обратная косе \alpha, определяется отражением в плоскости P_{1/2}

Нить косы соединяет  a_i с b_{j_i} и определяет подстановку, элемент симметрической группы S_n. Если эта подстановка тождественна, то коса называется крашеной (или чистой) косой. Это отображение задаёт эпиморфизм B(n) на группу S_n перестановок n элементов, ядром которого является подгруппа K(n), соответствующая всем чистым косам, так что имеется короткая точная последовательность

0 \to K(n)\to B(n)\to S _n\to 0

Эта последовательность расщепляется, поэтому группа чистых кос изоморфна итерированному полупрямому произведению свободных групп.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]