Эллиптическая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эллиптическая функция — в комплексном анализе периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих только один период). Исторически, эллиптические функции были открыты как функции, обратные эллиптическим интегралам.

Определение[править | править исходный текст]

Эллиптической функцией называют такую мероморфную функцию f, определённую на области \mathbb{C}, для которой существуют два ненулевых комплексных числа a и b, таких что:

f(z + a) = f(z + b) = f(z), \forall z \in C

а также частное \frac{a}{b} не является действительным числом.

Из этого следует, что для любых целых m и n:

f(z + ma + nb) = f(z), \forall z \in C \,\!.

Любое комплексное число \omega, такое что

f(z + \omega) = f(z), \forall z \in C,

называют периодом функции f. Если периоды a и b таковы, что любое \omega может быть записано как:

\omega = ma + nb,

то a и b называют фундаментальными периодами. Каждая эллиптическая функция обладает парой фундаментальных периодов.

Параллелограмм \Pi с вершинами в 0, a, b, a+b называется Фундаментальным параллелограммом.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Не существует отличных от констант целых эллиптических функций. (Первая теорема Лиувилля)
  • Если эллиптическая функция f(z) не имеет полюсов на границе параллелограмма \alpha+\Pi, то сумма вычетов f(z) во всех полюсах, лежащих внутри \alpha+\Pi равна нулю. (Вторая теорема Лиувилля)
  • Любая эллиптическая функция с периодами a и b может быть представлена в виде

f(z)=h(\wp (z))+g(\wp (z)){\wp}'(z)

Где h, g — рациональные функции, \wp(z) — функция Вейерштрасса с теми же периодами, что и у f(z). Если при этом f(z) является чётной функцией, то её можно представить в виде f(z)=h(\wp (z)), где h рациональна.

  • Эллиптические функции неэлементарны, это было доказано Якоби в 1830-х годах.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  1. Э. Кнэпп. Эллиптические кривые. М.: Факториал Пресс, 2004 год. § 6.2 Эллиптические функции.
  2. И. И. Привалов. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Государственное издание физико-математической литературы, 1960 год. Глава 11.