Нечёткая логика

Нечёткая логика и теория нечётких множеств — раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств. Понятие нечёткой логики было впервые введено профессором Лютфи Заде в 1965 году. В его статье понятие множества было расширено допущением, что функция принадлежности элемента к множеству может принимать любые значения в интервале [0...1], а не только 0 или 1. Такие множества были названы нечёткими. Также автором были предложены различные логические операции над нечёткими множествами и предложено понятие лингвистической переменной, в качестве значений которой выступают нечёткие множества.

Предметом нечёткой логики является построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах.

Направления исследований нечёткой логики

В настоящее время существует по крайней мере два основных направления научных исследований в области нечёткой логики:

• нечёткая логика в широком смысле (теория приближенных вычислений);
• нечёткая логика в узком смысле (символическая нечёткая логика).

Математические основы

Символическая нечёткая логика

Символическая нечёткая логика основывается на понятии t-нормы. После выбора некоторой t-нормы (а её можно ввести несколькими разными способами) появляется возможность определить основные операции над пропозициональными переменными: конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, отрицание и другие.

Нетрудно доказать теорему о том, что дистрибутивность, присутствующая в классической логике, выполняется только в случае, когда в качестве t-нормы выбирается t-норма Гёделя.

Кроме того, в силу определенных причин, в качестве импликации чаще всего выбирают операцию, называемую residium (она, вообще говоря, также зависит от выбора t-нормы).

Определение основных операций, перечисленных выше, приводит к формальному определению базисной нечёткой логики, которая имеет много общего с классической булевозначной логикой (точнее, с исчислением высказываний).

Существуют три основных базисных нечётких логики: логика Лукасевича, логика Гёделя и вероятностная логика (англ. product logic). Интересно, что объединение любых двух из трёх перечисленных выше логик приводит к классической булевозначной логике.

Теория приближенных вычислений

Основное понятие нечёткой логики в широком смысле — нечёткое множество, определяемое при помощи обобщенного понятия характеристической функции. Затем вводятся понятия объединения, пересечения и дополнения множеств (через характеристическую функцию; задать можно различными способами), понятие нечёткого отношения, а также одно из важнейших понятий — понятие лингвистической переменной.

Вообще говоря, даже такой минимальный набор определений позволяет использовать нечёткую логику в некоторых приложениях, для большинства же необходимо задать ещё и правило вывода (и оператор импликации).

Нечеткая логика и нейронные сети

Поскольку нечеткие множества описываются функциями принадлежности, а t-нормы и k-нормы обычными математическими операциями, можно представить нечеткие логические рассуждения в виде нейронной сети. Для этого функции принадлежности надо интерпретировать как функции активации нейронов, передачу сигналов как связи, а логические t-нормы и k-нормы, как специальные виды нейронов, выполняющие математические соответствующие операции. Существует большое разнообразие подобных "нейро-фаззи" сетей neuro-fuzzy network (англ.) . Например, ANFIS ( Adaptive Neuro fuzzy Inference System) - адаптивная нейро-фаззи система вывода. (англ.)

она может быть описана в универсальной форме аппроксиматоров как

$y(x)=\sum _{i=1}^{N}\phi _{i}(x)*\theta _{i}$

кроме того этой формулой могут быть описаны так же некоторые виды нейронных сетей, такие как радиально базисные сети (RBF),многослойные персептроны (MLP), а также вейвлеты и сплайны

Примеры

Нечёткое множество, содержащее число 5

Нечёткое множество, содержащее число 5, можно задать, например, такой характеристической функцией: $\mu _{A}\left(x\right)=\left(1+\left|x-5\right|^{n}\right)^{-1}$

Пример определения лингвистической переменной

В обозначениях, принятых для лингвистической переменной:

• X = «Температура в комнате»
• U = [5, 35]
• T = {«холодно», «комфортно», «жарко»}

Характеристические функции:

• $\mu _{cold}\left(u\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {u-10}{7}}\right)^{12}}}$
• $\mu _{ok}\left(u\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {u-20}{3}}\right)^{6}}}$
• $\mu _{hot}\left(u\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {u-30}{6}}\right)^{10}}}$

Правило G порождает новые термы с использованием союзов «и», «или», «не», «очень», «более или менее».

• не A: $1-\mu _{A}\left(u\right)$
• очень A: $\left(\mu _{A}\left(u\right)\right)^{2}$
• более или менее A: ${\sqrt {\mu _{A}\left(u\right)}}$
• A или B: $\max \left(\mu _{A}\left(x\right),\mu _{B}\left(x\right)\right)$
• A и B: $\min \left(\mu _{A}\left(x\right),\mu _{B}\left(x\right)\right)$

См. также

• Логика
• Нечёткое множество
• Теория игр
• Теория вероятностей
• Теория информации
• Теория нечётких множеств
• Теория принятия решений
• Линейная частичная информация

Литература

• Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 166c.
• Тэрано, Т.; Асаи, К.; Сугэно, М. Прикладные нёчеткие системы. М.: Мир, 1993. 368c.
• Новак В., Перфильева И., Мочкрож И. Математические принципы нечёткой логики. пер с англ. М.: Физматлит, 2006. 352с.
• Круглов В. В. Дли М. И. Голунов Р. Ю. Нечёткая логика и искусственные нейронные сети. М.: Физматлит, 2001. 221с.
• Дьяконов А. П., Круглов В. В. MATLAB. Математические пакеты расширения. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2001. 480с (имеются главы по нечёткой логике и нейронным сетям).
• Дьяконов А. П., Абраменкова И. В., Круглов В. В. MATLAB 5 с пакетами расширений. Под редакцией проф. В. П. Дьяконова. М.: Нолидж, 2001. 880с (имеются главы по нечёткой логике и нейронным сетям).
• Дьяконов А. П., Круглов В. В. MATLAB 6.5 SP1/7/7 SP1/7 SP2+Simulink 5/6. Инструменты искусственнго интеллекта и биоинформатики. М.: СОЛОН-Пресс, 2006. 456с.
• Рутковский Л. Методы и технологии искусственного интеллекта: Пер. с польского И. Д. Рудинского. М.: Горячая линия — Телеком, 2010. — 520 с. ISBN 5-9912-0105-6
• Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польского И. Д. Рудинского. М.: Горячая линия — Телеком, 2004. — 452 с. ISBN 5-93517-103-1

Ссылки

• Статьи и доклады Лотфи Заде  (неопр.).
• Нечеткая логика, мягкие вычисления и вычислительный интеллект  (неопр.). Архивировано 31 августа 2011 года.
• Нечеткая логика — математические основы  (неопр.). Архивировано 31 августа 2011 года.
• Статьи по нечетким множествам  (рус.). Дата обращения: 20 января 2009. Архивировано 31 августа 2011 года.
• Форум по нечеткой логике  (рус.). Дата обращения: 8 января 2009. Архивировано 31 августа 2011 года.
• Учебник по математической логике, содержащий и главу о нечеткой логике  (рус.). Дата обращения: 8 января 2009. Архивировано 31 августа 2011 года.
• Информационно-методический портал кафедры ИПМ (Информатика и прикладная математика)  (рус.). — Ранее "Сайт, посвященный нечеткой логике". Разделы доступны только для зарегистрированных пользователей. Дата обращения: 8 января 2009. Архивировано 31 августа 2011 года.
• Сергей Гриняев. Нечеткая логика в системах управления  (рус.) (html). Компьютерра–Онлайн (8 октября 2001). — Статья в журнале Компьютерра. Дата обращения: 8 января 2009.
• Fuzzy Logic Toolbox (англ.). — Дополнение к [MATLAB] для моделирования систем с нечеткой логикой. Дата обращения: 8 января 2009. Архивировано 31 августа 2011 года.
• Fuzzy Logic Toolbox - Проектирование систем управления  (рус.) (html). Экспонента.ру. Дата обращения: 8 января 2009. Архивировано 31 августа 2011 года.
• [1] Научные статьи по нечёткой логике.