Нечёткое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нечёткое множество (иногда размытое, расплывчатое, туманное, путанное, пушистое) — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале Information and Control[en], в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что функция принадлежности элемента множеству может принимать любые значения в интервале [0, 1], а не только значения 0 или 1. Является базовым понятием нечёткой логики.

Определение[править | править вики-текст]

Под нечётким множеством A понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов x универсального множества X и соответствующих степеней принадлежности \mu_A(x):

A = \{(x, \mu_A(x)) \mid x \in X\},

причём \mu_A(x) — функция принадлежности (характеристическая функция), указывающая в какой степени (мере) элемент x принадлежит нечёткому множеству A. Функция \mu_A(x) \ принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве M. Множество M называют множеством принадлежностей, часто в качестве M выбирается отрезок [0, 1]. Если M = \{0, 1\} \ (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Основные определения[править | править вики-текст]

Пусть A нечёткое множество с элементами из универсального множества X \ и множеством принадлежностей M = [0, 1]. Тогда

  • Носителем (суппортом) нечёткого множества supp A называется множество \{x \mid x \in X, \mu_A(x) > 0 \}.
  • Величина \sup_{x \in X} \mu_A(x) называется высотой нечёткого множества A \ . Нечёткое множество A \ нормально, если его высота равна 1 \ . Если высота строго меньше 1 \ , нечёткое множество называется субнормальным.
  • Нечёткое множество пусто, если \forall x \in X :\mu_A(x) = 0. Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:
    \mu'_A(x) = \frac{\mu_A(x)}{\sup \mu_A(x)}.
  • Нечёткое множество унимодально, если \mu_A(x) = 1 \ только на одном x \ из X \ .
  • Элементы x \in X, для которых \mu_A(x) = 0{,}5 \ , называются точками перехода нечёткого множества A \ .

Сравнение нечётких множеств[править | править вики-текст]

Пусть A и B нечёткие множества, заданные на универсальном множестве X.

  • A содержится в B, если для любого элемента из X функция его принадлежности множеству A будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству B:
    A \subset B \Leftrightarrow \forall x \in X : \mu_A(x) \leqslant \mu_B(x)\!.
  • В случае, если условие \mu_A(x) \leqslant \mu_B(x)\! выполняется не для всех x \in X , говорят о степени включения нечёткого множества A в B, которое определяется так:
    l\left(A \subset B \right) = \min_{x \in T} \mu_ B(x)\!, где T = \{x \in X;\mu_A(x) \leqslant \mu_B(x), \mu_A(x)>0 \}\!.
  • Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:
    A = B \Leftrightarrow \forall x \in X : \mu_A(x) = \mu_B(x)\!.
  • В случае, если значения функций принадлежности \mu_A(x)\! и \mu_B(x)\! почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств A и B, например, в виде
    E(A = B) = 1 - \max_{x \in T}|\mu_A(x) - \mu_B(x)|\!, где T = \{x \in X;\mu_A(x) \neq \mu_B(x)\}\!.

Свойства нечётких множеств[править | править вики-текст]

\alpha-срезом нечёткого множества A\subseteq X\!, обозначаемым как A_\alpha\!, называется следующее чёткое множество:

A_\alpha= \{x \in X \mid \mu_A(x)\geqslant \alpha\}\!,

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

\chi_{A_\alpha}(x) = 
\left\{\begin{matrix} 0, & \mu_A(x) < \alpha, 
\\ 1, &\mu_A(x) \geqslant \alpha.
\end{matrix}\right.\!

Для \alpha-среза нечёткого множества истинна импликация:

\alpha_1 < \alpha_2 \Rightarrow A_{\alpha_1} \supset A_{\alpha_2}\!.

Нечёткое множество A \subseteq \mathbf{R}\! является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

\mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \geqslant \langle\mu_A(x_1)\land \mu_A(x_2) = \min\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle\!

для любых x_1,x_2 \in \mathbf{R}\! и \gamma \in [0, 1]\!.

Нечёткое множество A \subseteq \mathbf{R}\! является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

\mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \leqslant \langle\mu_A(x_1)\lor \mu_A(x_2) = \max\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle\!

для любых x_1,x_2 \in \mathbf{R}\! и \gamma \in [0, 1]\!.

Операции над нечёткими множествами[править | править вики-текст]

При множестве принадлежностей M = [0, 1] \

  • Пересечением нечётких множеств A и B называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B:
    \mu_{A\cap B}(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.
  • Произведением нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
    \mu_{AB}(x) = \mu_A(x) \mu_B(x)\!.
  • Объединением нечётких множеств A и B называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащее элементы A или B:
    \mu_{A\cup B}(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.
  • Суммой нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
    \mu_{A+B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x)\ - \mu_A(x) \mu_B(x)\!.
  • Отрицанием множества A \ называется множество \overline A с функцией принадлежности:
    \mu_{\overline A}(x) = 1 - \mu_A(x)\! для каждого x \in X\!.

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами[править | править вики-текст]

Пересечение[править | править вики-текст]

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом:

\mu_{A\cap B}(x) = T(\mu_A(x), \mu_B(x))\!,

где функция T — это так называемая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

  • \mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\land \mu_B(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))\!
  • \mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\mu_B(x)\!
  • \mu_{A\cap B}(x) = \max\{0, \mu_A(x)+\mu_B(x)- 1 \}\!
  • \mu_{A\cap B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=1 
\\  \mu_B(x), &  \mu_A(x)=1
\\  0, &  \mu_A(x)<1,\mu_B(x)<1,
 \end{matrix}\right.\!
  • \mu_{A\cap B}(x) = 1 - \min\{1,[(1 - \mu_A(x))^p + (1 - \mu_B(x))^p]^{1\over p}\}\!, для p \geqslant 1\!

Объединение[править | править вики-текст]

В общем случае операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом:

\mu_{A\cup B}(x) = S(\mu_A(x), \mu_B(x))\!,

где функция S — T-конорма. Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

  • \mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x)\lor \mu_B(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))\!
  • \mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x) -  \mu_A(x)\mu_B(x)\!
  • \mu_{A\cup B}(x) = \min\{1, \mu_A(x)+\mu_B(x)\}\!
  • \mu_{A\cup B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=0 
\\  \mu_B(x), &  \mu_A(x)=0
\\  1, &  \mu_A(x)>0,\mu_B(x)>0
 \end{matrix}\right.\!
  • \mu_{A\cup B}(x) = \min\{1,[\mu_A^p(x)+\mu_B^p(x)]^{1\over p}\}\!, для p \geqslant 1\!

Связь с теорией вероятностей[править | править вики-текст]

Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности \mu_A(x) \ можно рассматривать как вероятность накрытия элемента x \ некоторым случайным множеством B \ .

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.

Примеры[править | править вики-текст]

Пусть:

  • множество X = \{x_1, x_2, x_3, x_4\}
  • множество принадлежностей M = [0, 1]
  • A и B — два нечетких подмножества X
    • A = \{ (x_1 \mid 0{,}4), (x_2 \mid 0{,}6), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 1) \}
    • B = \{ (x_1 \mid 0{,}3), (x_2 \mid 0), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 0{,}2) \}

Имеем:

  • пересечение: {A\cap B} = \{ (x_1 \mid 0{,}3), (x_2 \mid 0), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 0{,}2) \} = {B}
  • объединение: {A\cup B} = \{ (x_1 \mid 0{,}4), (x_2 \mid 0{,}6), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 1) \} = {A}

Литература[править | править вики-текст]

  • Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. — 166 с.
  • Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. — М.: Радио и связь, 1982. — 432 с.
  • Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения / Р. Р. Ягер. — М.: Радио и связь, 1986.
  • Zadeh L. A. Fuzzy sets // Information and Control. — 1965. — Т. 8. — № 3. — P. 338-353.