Нечёткое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нечёткое множество (иногда размытое, расплывчатое, туманное, путанное, пушистое) — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале Information and Control[en], в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что функция принадлежности элемента множеству может принимать любые значения в интервале , а не только значения или . Является базовым понятием нечёткой логики.

Определение[править | править вики-текст]

Под нечётким множеством понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов универсального множества и соответствующих степеней принадлежности :

,

причём  — функция принадлежности (характеристическая функция), указывающая в какой степени (мере) элемент принадлежит нечёткому множеству . Функция принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве . Множество называют множеством принадлежностей, часто в качестве выбирается отрезок . Если (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Основные определения[править | править вики-текст]

Пусть нечёткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей . Тогда

  • Носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество .
  • Величина называется высотой нечёткого множества . Нечёткое множество нормально, если его высота равна . Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным.
  • Нечёткое множество пусто, если . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:
    .
  • Нечёткое множество унимодально, если только на одном из .
  • Элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .

Сравнение нечётких множеств[править | править вики-текст]

Пусть и нечёткие множества, заданные на универсальном множестве .

  • содержится в , если для любого элемента из функция его принадлежности множеству будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству :
    .
  • В случае, если условие выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества в , которое определяется так:
    , где .
  • Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:
    .
  • В случае, если значения функций принадлежности и почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств и , например, в виде
    , где .

Свойства нечётких множеств[править | править вики-текст]

-срезом нечёткого множества , обозначаемым как , называется следующее чёткое множество:

,

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

Для -среза нечёткого множества истинна импликация:

.

Нечёткое множество является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

для любых и .

Нечёткое множество является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

для любых и .

Операции над нечёткими множествами[править | править вики-текст]

При множестве принадлежностей

  • Пересечением нечётких множеств и называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в и :
    .
  • Произведением нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
    .
  • Объединением нечётких множеств и называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащее элементы или :
    .
  • Суммой нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
    .
  • Отрицанием множества называется множество с функцией принадлежности:
    для каждого .

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами[править | править вики-текст]

Пересечение[править | править вики-текст]

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом:

,

где функция  — это так называемая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

  • , для

Объединение[править | править вики-текст]

В общем случае операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом:

,

где функция  — T-конорма. Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

  • , для

Связь с теорией вероятностей[править | править вики-текст]

Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности можно рассматривать как вероятность накрытия элемента некоторым случайным множеством .

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.

Примеры[править | править вики-текст]

Пусть:

  • множество
  • множество принадлежностей
  • и  — два нечетких подмножества

Имеем:

  • пересечение:
  • объединение:

Литература[править | править вики-текст]

  • Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. — 166 с.
  • Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. — М.: Радио и связь, 1982. — 432 с.
  • Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения / Р. Р. Ягер. — М.: Радио и связь, 1986.
  • Zadeh L. A. Fuzzy sets // Information and Control. — 1965. — Т. 8, № 3. — P. 338-353.