Нечёткое множество

Нечёткое множество (иногда размытое, туманное, пушистое) — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале Information and Control, в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция множества (названная Заде функцией принадлежности для нечёткого множества) может принимать любые значения в интервале $[0,1]$, а не только значения $0$ или $1$. Является базовым понятием нечёткой логики.

Устаревшее название: расплывчатое множество,

Определение

Под нечётким множеством $A$ понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов $x$ универсального множества $X$ и соответствующих степеней принадлежности $\mu _{A}(x)$:

$A=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\in X\}$,

причём $\mu _{A}(x)$ — функция принадлежности (обобщение понятия характеристической функции обычных чётких множеств), указывающая, в какой степени (мере) элемент $x$ принадлежит нечёткому множеству $A$. Функция $\mu _{A}(x)\$ принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве $M$. Множество $M$ называют множеством принадлежностей, часто в качестве $M$ выбирается отрезок $[0,1]$. Если $M=\{0,1\}\$ (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество.

Основные определения

Пусть $A$ нечёткое множество с элементами из универсального множества $X\$ и множеством принадлежностей $M=[0,1]$. Тогда:

• носителем (суппортом) нечёткого множества $\operatorname {supp} A$ называется множество $\{x\mid x\in X,\mu _{A}(x)>0\}$;
• величина $\sup _{x\in X}\mu _{A}(x)$ называется высотой нечёткого множества $A\$. Нечёткое множество $A\$ нормально, если его высота равна $1\$. Если высота строго меньше $1\$, нечёткое множество называется субнормальным;
• нечёткое множество пусто, если $\forall x\in X:\mu _{A}(x)=0$. Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле

  $\mu '_{A}(x)={\frac {\mu _{A}(x)}{\sup \mu _{A}(x)}}$;

• нечёткое множество унимодально, если $\mu _{A}(x)=1\$ только на одном $x\$ из $X\$;
• элементы $x\in X$, для которых $\mu _{A}(x)=0{,}5$, называются точками перехода нечёткого множества $A\$.

Сравнение нечётких множеств

Пусть $A$ и $B$ нечёткие множества, заданные на универсальном множестве $X$.

• $A$ содержится в $B$, если для любого элемента из $X$ функция его принадлежности множеству $A$ будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству $B$:

  $A\subset B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$.

• В случае, если условие $\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ выполняется не для всех $x\in X$, говорят о степени включения нечёткого множества $A$ в $B$, которое определяется так:

  $l\left(A\subset B\right)=\min _{x\in T}\mu _{B}(x)$, где $T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x),\mu _{A}(x)>0\}$.

• Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

  $A=B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)$.

• В случае, если значения функций принадлежности $\mu _{A}(x)$ и $\mu _{B}(x)$ почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств $A$ и $B$, например, в виде

  $E(A=B)=1-\max _{x\in T}|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|$, где $T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\neq \mu _{B}(x)\}$.

Свойства нечётких множеств

$\alpha$-срезом нечёткого множества $A\subseteq X$, обозначаемым как $A_{\alpha }$, называется следующее чёткое множество:

$A_{\alpha }=\{x\in X\mid \mu _{A}(x)\geqslant \alpha \}$,

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

$\chi _{A_{\alpha }}(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&\mu _{A}(x)<\alpha ,\\1,&\mu _{A}(x)\geqslant \alpha .\end{matrix}}\right.$

Для $\alpha$-среза нечёткого множества истинна импликация:

$\alpha _{1}<\alpha _{2}\Rightarrow A_{\alpha _{1}}\supset A_{\alpha _{2}}$.

Нечёткое множество $A\subseteq \mathbf {R}$ является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

$\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\geqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\land \mu _{A}(x_{2})=\min\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle$

для любых $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ и $\gamma \in [0,1]$.

Нечёткое множество $A\subseteq \mathbf {R}$ является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

$\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\leqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\lor \mu _{A}(x_{2})=\max\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle$

для любых $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ и $\gamma \in [0,1]$.

Операции над нечёткими множествами

При множестве принадлежностей $M=[0,1]\$

• Пересечением нечётких множеств $A$ и $B$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся минимумом функций принадлежности $A$ и $B$:

  $\mu _{A\cap B}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$.

• Произведением нечётких множеств $A$ и $B$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

  $\mu _{AB}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$.

• Объединением нечётких множеств $A$ и $B$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся максимумом функций принадлежности $A$ и $B$:

  $\mu _{A\cup B}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$.

• Суммой нечётких множеств $A$ и $B$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

  $\mu _{A+B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\ -\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$.

• Отрицанием множества $A\$ называется множество ${\overline {A}}$ с функцией принадлежности:

  $\mu _{\overline {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)$ для каждого $x\in X$.

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами

Пересечение

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом:

$\mu _{A\cap B}(x)=T(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$,

где функция $T$ — это так называемая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

• $\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\land \mu _{B}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$
• $\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$
• $\mu _{A\cap B}(x)=\max\{0,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-1\}$
• $\mu _{A\cap B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=1\\\mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=1\\0,&\mu _{A}(x)<1,\mu _{B}(x)<1,\end{matrix}}\right.$
• $\mu _{A\cap B}(x)=1-\min\{1,[(1-\mu _{A}(x))^{p}+(1-\mu _{B}(x))^{p}]^{1 \over p}\}$, для $p\geqslant 1$

Объединение

В общем случае операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом:

$\mu _{A\cup B}(x)=S(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$,

где функция $S$ — T-конорма. Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

• $\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)\lor \mu _{B}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$
• $\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$
• $\mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\}$
• $\mu _{A\cup B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=0\\\mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=0\\1,&\mu _{A}(x)>0,\mu _{B}(x)>0\end{matrix}}\right.$
• $\mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,[\mu _{A}^{p}(x)+\mu _{B}^{p}(x)]^{1 \over p}\}$, для $p\geqslant 1$

Связь с теорией вероятностей

Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности $\mu _{A}(x)\$ можно рассматривать как вероятность накрытия элемента $x\$ некоторым случайным множеством $B\$.

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики. Например, в теории управления существует направление, в котором для синтеза экспертных регуляторов вместо методов теории вероятностей используются нечёткие множества (нечёткие регуляторы).

Примеры

Пусть:

• множество $X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}$
• множество принадлежностей $M=[0,1]$
• $A$ и $B$ — два нечётких подмножества $X$
  • $A=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 1)\}$
  • $B=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2)\}$

Результаты основных операций:

• пересечение: ${A\cap B}=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2)\}={B}$
• объединение: ${A\cup B}=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 1)\}={A}$

Литература

• Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. — 166 с.
• Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. — М.: Знание, 1980. — 64 с.
• Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. — М.: Радио и связь, 1982. — 432 с.
• Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения / Р. Р. Ягер. — М.: Радио и связь, 1986.
• Zadeh L. A. Fuzzy sets // Information and Control. — 1965. — Т. 8, № 3. — P. 338-353.
• Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. — М.: Наука, 1981. — 208 с. — 7600 экз.
• Орлов А. И., Луценко Е. В. Системная нечеткая интервальная математика. — Монография (научное издание). — Краснодар, КубГАУ. 2014. — 600 с.[1]