Альтернативная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Альтернати́вная ма́трица[1][2] (англ. Alternant matrix) — в линейной алгебре матрица специального вида размерности , задаваемая с помощью элементов и функций так, что каждый элемент матрицы [3] или, в развёрнутом виде:

Иногда альтернативная матрица определяется в траспонированном виде.

Примеры и использование альтернативных матриц[править | править вики-текст]

Распространённый и часто встречающийся частный случай альтернативной матрицы — матрица Вандермонда. Альтернативная матрица принимает этот вид при . (Некоторые авторы называют именно матрицу Вандермонда альтернативной[4][5].) Более редкий частный случай альтернативной матрицы — матрица Мура (англ.), в которой .

В более общем виде альтернативные матрицы применяются в теории кодирования.

Свойства альтернативных матриц[править | править вики-текст]

Если исходная альтернативная матрица квадратная и если все функции полиномиальны, то при условии для всех детерминант альтернативной матрицы равен нулю, и таким образом, является делителем детерминанта такой альтернативной матрицы при любых , удовлетворяющим условию . Следовательно, детерминант Вандермонда

равный также является делителем детерминантов таких альтернативных матриц. Отношение носит специальное название «биальтернант».

Заметим также, что в случае, когда , мы получаем классическое определение многочленов Шура.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • A. C. Aitken. Determinants and Matrices. — 9th edition. — Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. — С. 111—123. — 144 с.
  • Richard P. Stanley. Enumerative Combinatorics. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 2. — С. 334–342. — ISBN 0521560691.
  • Thomas Muir. A treatise on the theory of determinants. — Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2003. — С. 321—363. — 766 с. — ISBN 0486495531.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Alternant matrix. Аcademic.ru. Проверено 17 ноября 2012. Архивировано из первоисточника 9 января 2013.
  2. Alternant matrix. Multitran.ru. Проверено 17 ноября 2012.
  3. A. C. Aitken. Determinants and Matrices. — 9th edition. — Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. — С. 112. — 144 с.
  4. Hrishikesh D. Vinod. Hands-on matrix algebra using R: active and motivated learning with applications. — Singapore: World Scientific, 2011. — С. 290. — 329 с. — ISBN 9814313688.
  5. Marvin Marcus, Henryk Minc. A survey of matrix theory and matrix inequalities. — New York: Dover, 1992. — С. 15. — 180 с. — ISBN 048667102X.