Определитель Вандермонда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определителем Вандермонда называется определитель

\begin{vmatrix} 1 & x_1 & \ldots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & \ldots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_n & \ldots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix} \ \ = \prod_{1 \leq j<i \leq n}\! (x_i-x_j),

названный в честь французского математика Александра Теофила Вандермонда. [1]

Данная формула показывает, что определитель Вандермонда равен нулю тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна пара \left(x_i, x_j \right) такая, что x_i=x_j, i \neq j.

Определитель Вандермонда имеет многочисленные применения в разных областях математики. Например, при решении задачи интерполяции многочленами, т.е. задачи о нахождении многочлена степени n-1, график которого проходит через n заданных точек плоскости с абсциссами x_1, \ldots, x_{n}, определитель Вандермонда возникает как определитель системы линейных уравнений, из которой находятся неизвестные коэффициенты искомого многочлена.[3]

Матрица Вандермонда представляет собой частный случай альтернативной матрицы, в которой f_i(\alpha)=\alpha^{i-1}.

Если \zeta - первообразный корень n-й степени из единицы и A=(a_{i,j}) - матрица Вандермонда с элементами a_{i,j}=\zeta^{ij}, то обратная матрица B=(\tilde{a}_{i,j}) с точностью до диагональной матрицы имеет вид \tilde{a}_{i,j}=\zeta^{-ij}: AB=n\cdot E.

Литература[править | править исходный текст]

  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука 1968.
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Наука — Физматлит, 1999.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Alexandre-Théophile Vandermonde  (рус.).
  2. Ian Stewart Galois Theory, Third Edition, стр. 28, — Chapman & Hall/CRC Mathematics.
  3. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. II, пар. 4, — Физматлит, Москва, 2009.