Определитель Вандермонда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определителем Вандермонда называется определитель

названный в честь французского математика Александра Теофила Вандермонда. [1] Данная формула показывает, что определитель Вандермонда равен нулю тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна пара такая, что .

Доказательство[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

Матрица Вандермонда представляет собой частный случай альтернативной матрицы, в которой .

Если - первообразный корень -й степени из единицы и - матрица Вандермонда с элементами , то обратная матрица с точностью до диагональной матрицы имеет вид : .

Применение[править | править вики-текст]

Определитель Вандермонда имеет многочисленные применения в разных областях математики. Например, при решении задачи интерполяции многочленами, т.е. задачи о нахождении многочлена степени , график которого проходит через заданных точек плоскости с абсциссами , определитель Вандермонда возникает как определитель системы линейных уравнений, из которой находятся неизвестные коэффициенты искомого многочлена.[3]

Быстрое умножение вектора на матрицу Вандермонда[править | править вики-текст]

Быстрое умножение вектора на матрицу Вандермонда эквивалентно нахождению значений многочлена и может быть вычислено за операций, где — затраты на умножения двух полиномов.[4] Метод быстрого нахождения значений многочлена строится на том факте, что . Используя алгоритм быстрого умножения многочленов (а так же его модификацию операцию взятия по модулю многочлена), такой как Метод умножения Шёнхаге — Штрассена, применив парадигму разделяй и властвуй, за умножений многочленов (и операций по модулю многочленов) строится дерево, листьями которого будут многочлены (значения) , а корнем дерева будет многочлен .[5]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Alexandre-Théophile Vandermonde  (рус.).
  2. Ian Stewart Galois Theory, Third Edition, стр. 28, — Chapman & Hall/CRC Mathematics.
  3. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. II, пар. 4, — Физматлит, Москва, 2009.
  4. Efficient computation with structured matrices and arithmetic expressions.
  5. Polynomial Algorithms.

Литература[править | править вики-текст]

  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука 1968.
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Наука — Физматлит, 1999.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.