Аналитический сигнал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аналитический сигнал (аналитическое представление сигнала) — используемое в теории обработки сигналов математическое представление аналогового сигнала в виде комплекснозначной аналитической функции времени. Обычный, действительный сигнал x является при этом действительной частью аналитического представления xa.

Идея преобразования — оставить лишь неотрицательные частоты в спектре сигнала, достаточные для его восстановления в силу эрмитовой симметрии: X(-f) = \overline{X(f)}.

Аналитический сигнал является обобщением понятия комплексной амплитуды на случай сигналов, отличных от гармонического.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть x(t) — представляющая сигнал действительнозначная функция, преобразование Фурье (т.е. спектр) которой обозначим X(f),[1], а u(f) — функция Хевисайда.

Тогда:


\begin{align}
X_\mathrm{a}(f) & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  
\begin{cases}
\ \ 2 X(f), & \mbox{for } f > 0, \\
\ \ X(f), & \mbox{for } f = 0, \\
\ \ 0, & \mbox{for } f < 0,
\end{cases} \\
&= X(f)\cdot 2 \mathrm{u}(f)
\end{align}

содержит лишь неотрицательную часть спектра X(f).

Подвергая полученный спектр X_\mathrm{a}(f)\, обратному преобразованию Фурье, мы и получаем аналитический сигнал:


\begin{align}
x_\mathrm{a}(t) &= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{X(f)\}}_{x(t)} \ * \ \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{2 \mathrm{u}(f)\}}_{\delta(t) + j\cdot {1 \over \pi t}} \quad \quad \mbox{ } \\
&= x(t) + j\underbrace{\left[x(t) * {1 \over \pi t}\right]}_{\hat{x}(t)},
\end{align}

где * — свёртка, \hat{x}(t) — преобразование Гильберта функции x(t),\, а j,\, как принято в данной науке, означает мнимую единицу.

Примеры[править | править исходный текст]

Пусть  x(t) = \cos(\omega_0 t)\, для некоторой частоты \omega_0 > 0\,

Тогда:

\hat{x}(t) = \cos(\omega_0 t -\begin{matrix} \frac{\pi }{2} \end{matrix}) = \sin(\omega_0 t)\,
x_\mathrm{a}(t) = \cos(\omega_0 t) + j\cdot \sin(\omega_0 t) = e^{j \omega_0 t}\,

Это комплексная функция с возрастающим по времени аргументом.

Практические применения[править | править исходный текст]

Устранение «отрицательных частот» используется в аналоговой передаче звука (АМ-радиовещание, аналоговая телефонная связь) для экономии полосы частот.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Обращаем внимание на то, что fпеременная частоты, а не функция.

См. также[править | править исходный текст]

Внешние ссылки[править | править исходный текст]