Арбелос

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Лезвие сапожного ножа похоже на арбелос.

Арбелос (греч. άρβυλος — сапожный нож) — плоская геометрическая фигура, образованная большим полукругом, из которого вырезаны два меньших, диаметры которых лежат на диаметре большого и разбивают его на две части. Точнее, пусть A, B и C — точки на одной прямой, тогда три полуокружности с диаметрами AB, BC и AC, расположенные по одну сторону от этой прямой, ограничивают арбелос[1].

Свойства[править | править код]

Теорема Паппа Александрийского[править | править код]

Теорема Паппа: , ,…, .

Даны арбелос ABC (точка A лежит между точками B и C) и окружности , ,…, (), причем окружность касается дуг AB, BC и AC, а при окружность касается дуг AB и BC и окружности .

Тогда при любом натуральном расстояние от центра окружности до прямой BC равно произведению диаметра этой окружности на её номер [2]:

.

Площадь[править | править код]

Arbelos diagram with points marked.svg

Площадь арбелоса равна площади круга с диаметром HA.

Прямоугольник[править | править код]

Отрезок BH пересекает полуокружность BA в точке D. Отрезок CH пересекает полуокружность AC в точке E. Тогда DHEA является прямоугольником.

Касательные[править | править код]

Прямая DE касается полуокружности BA в точке D и полуокружности AC в точке E.

Замечание[править | править код]

Две равные архимедовы окружности-близнецы (красные) в арбелосе (серый)

В «Леммах» также рассматриваются Архимедовы окружности-близнецы[en] (см. рис.).

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Банков, 1983, с. 144.
  2. Банков, 1983, с. 144-145.

Литература[править | править код]

  • Mortimer Brian. The Geometry of The Arbelos. — Carleton University, 1998.
  • Леон Банков. 2.6. Как Папп доказал свою теорему? // Математический цветник / Сост. и ред. Д. А. Кларнер; пер. с англ. Ю. А. Данилова; под. ред., с предисл. и прилож. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1983. — С. 143-152.