Диаметр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Диа́метр в изначальном значении термина — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр равен двум радиусам.

Диаметр геометрических фигур[править | править вики-текст]

Радиус (r) и диаметр (d) окружности

Диаметр — это хорда (отрезок, соединяющий две точки) на окружности (сфере, поверхности шара), проходящая через центр этой окружности (сферы, шара). Также диаметром называют длину этого отрезка. Диаметр окружности является хордой, проходящей через её центр; такая хорда имеет наибольшую длину. По величине диаметр равен двум радиусам.

Символ диаметра[править | править вики-текст]

Символ диаметра «⌀» (может не отображаться в некоторых браузерах) схож начертанием со строчной перечёркнутой буквой «o». В Юникоде он находится под десятичным номером 8960 или шестнадцатеричным номером 2300 (может быть введён в HTML-код как ⌀ или ⌀). Этот символ не присутствует в стандартных раскладках, поэтому для его ввода при компьютерном наборе необходимо использовать вспомогательные средства — например, приложение «Таблица символов» в Windows, программу «Таблица символов» (ранее gucharmap) в GNOME, команду «Вставка» → «Символ…» в программах Microsoft Office и т. д. Специализированные программы могут предоставлять пользователю свои способы ввода этого символа: к примеру, в САПР AutoCAD для ввода символа диаметра используется сочетание символов %%c (буква c — латинская) или \U+2205 в текстовой строке.

Во многих случаях символ диаметра может не отображаться, так как он редко включается в шрифты — например, он присутствует в Arial Unicode MS (поставляется с Microsoft Office, при установке именуется «Универсальный шрифт»), DejaVu (свободный), Code2000 (условно-бесплатный) и некоторых других.

Сопряжённые диаметры эллипса и гиперболы[править | править вики-текст]

Сопряжённые диаметры эллипса[править | править вики-текст]

Пара сопряжённых диаметров эллипса. Если в точках касания диаметра с эллипсом провести прямую, параллельную сопряжённому диаметру, то прямая будет касательной к эллипсу и четыре таких касательных ко всем четырём концам пары сопряжённых диаметров эллипса образуют описанный около эллипса параллелограмм
  • Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.

На рисунке представлена пара сопряженных диаметров (красный и синий). Если в точках касания диаметра с эллипсом провести прямую, параллельную сопряжённому диаметру, то прямая будет касательной к эллипсу, и четыре таких касательных ко всем четырём концам пары сопряжённых диаметров эллипса образуют описанный около эллипса параллелограмм (зеленые линии на рисунке).

  • Расстояния Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): r_{1} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): r_{2} от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
  • Радиус эллипса в данной точке (расстояние от его центра до данной точки) вычисляется по формуле Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): r={\frac {ab}{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}\varphi +a^{2}\sin ^{2}\varphi }}}={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi }}} , где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): \varphi  — угол между радиус-вектором данной точки и осью абсцисс.

Сопряжённые диаметры гиперболы[править | править вики-текст]

Диаметры гиперболы
  • Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряжённый диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.
  • Угловой коэффициент Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): k параллельных хорд и угловой коэффициент Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): k_{1} соответствующего диаметра связан соотношением
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): k\cdot k_{1}=\varepsilon ^{2}-1={\frac {b^{2}}{a^{2}}}
Для произвольного угла φ показаны диаметры и сопряженные им диаметры для окружностей и равнобочных гипербол.
  • Если диаметр гипербол a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряжёнными.
  • Главными диаметрами гипербол называются взаимно сопряжённые и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.
  • В случае гипербол с асимптотами, образующими прямой угол, её сопряженные гиперболы получатся при её зеркальном отражении относительно одной из асимптот. При таком зеркальном отражении её диаметр перейдет в сопряженный диаметр, который будет просто диаметром сопряженной гиперболы (см. рис.). Также. как наблюдается перпендикулярность сопряженных диаметров на окружности (на рис. слева), аналогичная ортогональность наблюдается для сопряженных диаметров гиперболы со взаимно перпендикулярными асимптотами (на рис. справа).

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Понятие диаметра допускает естественные обобщения на некоторые другие геометрические объекты.

  • Под диаметром конического сечения понимается прямая проходящая через середины двух параллельных хорд.
  • Под диаметром метрического пространства понимается точная верхняя грань расстояний между парами его точек. В частности:
    • Диаметр графа — это максимальное из расстояний между парами его вершин. Расстояние между вершинами определяется как наименьшее число рёбер, которые необходимо пройти, чтобы добраться из одной вершины в другую. Иначе говоря, это расстояние между двумя вершинами графа, максимально удаленными друг от друга.
    • Диаметр геометрической фигуры — максимальное расстояние между точками этой фигуры.
    • Диаметром множества Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): M , лежащего в метрическом пространстве с метрикой Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): \rho , называется величина Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): (\sup_{x,y \in M}\rho(x, y)) . Например, диаметр n-размерного гиперкуба со стороной s равен
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): d = s\cdot \sqrt{n} .

Некоторые окружности, построенные в треугольнике на одном отрезке, как на диаметре[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «диаметр»

Литература[править | править вики-текст]