Банаховы пределы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Линейный функционал \mathrm\Beta\in l_{\infty}^{*} называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) B(\mathbf{1})=1[Примечание 1]

2) B\ge 0 для любых x\geq 0

3) B(Tx)=B(x) для любого x\in l_{\infty} , где T — оператор сдвига, действующий следующим образом: T(x_1,x_2,x_3,...)=(x_2,x_3,...)

Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом[1]. Из определения следует, что \|B\|_{l_{\infty}^{*}}=1 и B(x_1,x_2,...)=\lim_{n \to \infty}x_n, если последовательность x_1,x_2,... сходится. Множество банаховых пределов обозначается как \mathfrak{B}. \mathfrak{B}выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства l_{\infty}^{*}. Для любых B_1,B_2\in\mathfrak{B} справедливо неравенство \|B_1-B_2\|\le2 [2][3].

Лемма 1[править | править вики-текст]

Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если B_1(x)\le B_2(x) \quad \forall x\in l_{\infty} \quad x\ge 0, то B_1(x)=B_2(x) [4].

Теорема 1[править | править вики-текст]

Функционал f\in l_{\infty}^{*} можно представить в виде f=B_1-B_2 (B_1,B_2\in\mathfrak{B}) тогда и только тогда, когда

  1. f(Tx)=f(x) для всех x\in l_{\infty}
  2. f(\mathbf{1})=1
  3. \|f\|_{l_{\infty}^{*}}\le 2

Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы \|f\|_{l_{\infty}^{*}}=2 [4].

Понятие почти сходимости[править | править вики-текст]

Для заданных a\in\R^1 , x\in l_{\infty}, для любых \mathrm\Beta\in \mathfrak{B}

B(x)=a\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k=a

равномерно по m\in\N [5]. Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образом[6]:

\lim_{n \to \infty}\inf_{m\in\N}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k\le B(x)\le\lim_{n \to \infty}\sup_{m\in\N}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k

Последовательность x\in l_{\infty} называется почти сходящейся к числу a\in\R^1, если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны a. Используется следующее обозначение: Lim\,x_k=a. Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение ac. acлинейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в l_{\infty} . Множество почти сходящихся к числу s последовательностей обозначается как ac_s. Ясно, что ac_s\subset ac для любого s [4].

Пример[править | править вики-текст]

Последовательность x=(1,0,1,0,...) не имеет обычного предела, но Lim\,x=\frac{1}{2} . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: x_k=1-x_{k+1} .

Lim\,x_k=Lim\,(\mathbf{1}-x_{k+1})=1-Lim\,x_{k+1}=1-Lim\,x_k

Также можно будет использовать следующую лемму:

Лемма 2[править | править вики-текст]

Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду [4].

Характеристические функции[править | править вики-текст]

Системой Радемахера называется последовательность функций

r_n(t)=\sgn\sin(2^n\pi t) \quad n\in\N \quad t\in[0,1]

Каждому B\in\mathfrak{B} можно поставить в соответствие функцию

f_B(t)=B(r_n(t))

которая называется характеристической функцией банахова предела B. f_Bкомплекснозначная функция[2].

Теорема 2[править | править вики-текст]

Если A,B\in\mathfrak{B} и f_A(t)\le f_B(t) для всех t\in(0,1) , то A=B для всех x\in l_{\infty} [2].

Свойства характеристических функций[править | править вики-текст]

Пусть A,B\in\mathfrak{B} , тогда

  1. f_B(t) периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из (0,1)
  2. f_B(t)=f_B(\frac{t}{2}) для любых t\in(0,1)
  3. \forall \lambda \in [0,1] \, \exists \, x \in 2^\N \cap ac , что B(x) = \lambda для любого B \in \mathfrak{B} и Im \, f_B = [-1,1]
  4. график f_B плотен в прямоугольнике [0,1] \times [-1,1]
  5. f_B(t)+f_B(1-t)=0 для всех t \in (0,1)

[2]

Источники[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Здесь и далее под \mathbf{1} понимается последовательность (1,1,1,...)

Литература[править | править вики-текст]