Банаховы пределы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Линейный функционал называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) [Примечание 1]

2) для любых

3) для любого , где  — оператор сдвига, действующий следующим образом:

Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом[1]. Из определения следует, что и , если последовательность сходится. Множество банаховых пределов обозначается как . выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства . Для любых справедливо неравенство [2][3].

Лемма 1[править | править вики-текст]

Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если , то [4].

Теорема 1[править | править вики-текст]

Функционал можно представить в виде () тогда и только тогда, когда

  1. для всех

Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы [4].

Понятие почти сходимости[править | править вики-текст]

Для заданных , , для любых

равномерно по [5]. Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образом[6]:

Последовательность называется почти сходящейся к числу , если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны . Используется следующее обозначение: . Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение . линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в . Множество почти сходящихся к числу последовательностей обозначается как . Ясно, что для любого [4].

Пример[править | править вики-текст]

Последовательность не имеет обычного предела, но . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: .

Также можно будет использовать следующую лемму:

Лемма 2[править | править вики-текст]

Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду [4].

Характеристические функции[править | править вики-текст]

Системой Радемахера называется последовательность функций

Каждому можно поставить в соответствие функцию

которая называется характеристической функцией банахова предела . комплекснозначная функция[2].

Теорема 2[править | править вики-текст]

Если и для всех , то для всех [2].

Свойства характеристических функций[править | править вики-текст]

Пусть , тогда

  1. периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из
  2. для любых
  3. , что для любого и
  4. график плотен в прямоугольнике
  5. для всех

[2]

Источники[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Здесь и далее под понимается последовательность

Литература[править | править вики-текст]