Вейвлет Койфлет

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Вейвлет Койфлет порядка 1

К вейвлет-функциям с компактным носителем относятся вейвлеты Добеши, койфлеты и симмлеты. Метод построения вейвлет-функций с компактным носителем принадлежит Ингрид Добеши. Койфлеты являются частным случаем вейвлетов Добеши с нулевыми моментами скейлинг-функции.

Основные положения теории вейвлет-функций[править | править вики-текст]

Вейвлеты — ортонормированный базис в . С помощью вейвлет-анализа можно выделить высокочастотные всплески, например, в экспериментальных данных. В отличие от анализа Фурье, применяемого в этих же целях, вейвлет-анализ позволяет выявить не только частотную составляющую информации, но и её временную локализацию. Преимущества вейвлетов заключаются и в том, что для задачи приближения число спектральных коэффициентов много меньше числа спектральных коэффициентов Фурье. Это свойство используется в алгоритмах сжатия данных. Например, при одинаковом уровне сжатия по алгоритму JPEG и вейвлет-алгоритму, после восстановления, второй дает гораздо лучшее качество картинки [1].

Построение систем вейвлет-функций[править | править вики-текст]

Определение скейлинг-функции[править | править вики-текст]

Пусть представляет собой функцию из в , такую что множество её трансляций

( — параметр масштабирующий частоту вейвлета)

образует ортогональный базис в .

Введем согласно:

Пусть  — ортонормированный базис пространства . Тогда для любой функции :

Далее, пусть  — ортонормированный базис пространства , . Тогда мы получаем последовательность пространств , таких что

.

Определение. Пусть  — ортонормированный базис в , тогда разложение функции по базисам пространств называется многомасштабным анализом в .

Определение. Если является последовательностью пространств многомасштабного анализа в , функция порождает многомасштабный анализ и называется скейлингом.

Определение материнской вейвлет-функции[править | править вики-текст]

Пусть последовательность пространств является последовательностью пространств многомасштабного анализа в . Определим пространство как дополнение пространства до пространства , то есть . Тогда

,

или же:

.

Построим материнскую вейвлет-функцию ортогональную скейлинг-функции . В результате получим набор функций  — базис в пространстве .

Вейвлет-разложение[править | править вики-текст]

Таким образом, согласно (1) и определению функций и как базисов в соответствующих пространствах, получаем, что любая функция может быть разложена в сходящийся в ряд:

при этом коэффициенты ряда вычисляются следующим образом:

Коэффициенты дают информацию об общей форме исследуемой функции, тогда как коэффициенты содержат информацию о деталях общей формы.

Уровень разложения задается числом пространств используемых для анализа.

Функция [править | править вики-текст]

Утверждение. Пространства являются вложенными , при условии, что существует  — периодическая функция такая, что

,

где Фурье-образ функции (доказательство см. 2).

Лемма 0.Система функций является ортонормированной в тогда и только тогда, когда

. (3)

Лемма 1. Положим, что представляет собой ортонормированный базис в . Тогда для любой -периодической функции, удовлетворяющей условию (2), имеет место равенство:

. (4)

Лемма 2.В том случае, если представляет собой скейлинг-функцию, образующую совместно со своими трансляциями и дилатациями пространства многомасштабного анализа, тогда как  — -периодическую функцию из , удовлетворяющую условию (2), обратное преобразование Фурье образа

,

где

 — вейвлет-функция. (6)

Таким образом, скейлинг-функция и материнская вейвлет-функция определяются -периодической функцией согласно (2), (5), обладающей определенными свойствами (3), (4), (5) + должно выполняться условие

.

Вейвлеты Р. Койфмана — койфлеты[править | править вики-текст]

Вейвлеты Добеши и койфлеты индуцируются общей -периодической функцией , но для койфлетов к ней добавляется набор условий, определяющих равенство нулю моментов соответствующей скейлинг-функции, что весьма полезно в задачах аппроксимации.

Теорема. В том случае, если функция принадлежит пространству Соболева и при этом ядро аппроксимации удовлетворят некоторому условию моментов (равенство нулю), тогда аппроксимация данной функции обладает наперед заданной точностью. Обратно: для аппроксимации, обладающей известной сходимостью, ядро аппроксимации удовлетворяет некоторому условию моментов.

Для построения вейвлетов Добеши и койфлетов рассмотрим функцию  :

где  — тригонометрический полином. Для построения койфлетов потребуем выполнение следующих условий:

Или в частотной области:

Условие подразумевает .

Если существует некоторое число , тогда, согласно работе [2] рассматриваемая функция для койфлетов может быть представлена в виде:

где

(7)

 — тригонометрический полином, выбираемый так, чтобы выполнялось условие:

.

Определение. Вейвлет-функции, полученные с использованием полинома в виде (7), называются койфлетами уровня .

Преимущества и применение койфлетов[править | править вики-текст]

  • Вейвлет-функции с компактными носителями, например, такие как вейвлеты Добеши и койфлеты, наиболее качественно выделяют локальные особенности сигналов.
  • Койфлеты более симметричны чем, например, вейвлеты Добеши, что дает лучшую аппроксимацию при изучении симметричных сигналов.
  • Наличие у койфлетов нулевых моментов скейлинг-функции приводит к лучшей сжимаемости.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Хардле В., Крекьячаряна Ж. , Пикара Д. и Цыбакова А. Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения. // — http://www.quantlet.de/scripts/wav/html .
  • Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. // «Компьютерра». — 2001. — № 39.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Дремин И. М., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Вейвлеты и их использование. // УФН. — т. 171. — № 5. — С.465-501.
  2. Daubechies, I. (1992). Ten Lectures on Wavelets, SIAM, Philadelphia.