Носитель функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Носи́тель фу́нкции — замыкание множества, на котором функция отлична от нуля.

Носитель классической функции[править | править вики-текст]

Носитель функции  — это замыкание подмножества , на котором вещественнозначная функция не обращается в нуль:

Наиболее распространённым является случай, когда функция определена на топологическом пространстве и является непрерывной. В таком случае носитель определяется как наименьшее замкнутое подмножество , за пределами которого равняется нулю.

Компактный носитель[править | править вики-текст]

Функции с компактным носителем на  — те, носитель которых является компактным подмножеством .

Например, если  — это вещественная прямая, то все непрерывные функции, обнуляющиеся при , являются функциями с компактным носителем.

Функция называется финитной, если её носитель компактен.

Носитель обобщённой функции[править | править вики-текст]

Также можно ввести понятие носителя для обобщённой функции, то есть для функционала на множестве бесконечногладких финитных функций.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим обобщённую функцию и все множества такие, что если финитная функция обнуляется на множестве , то значение равно 0.

Наименьшее (по включению) из таких множеств называется носителем обобщённой функции . (Иначе можно сказать, что является пересечением всех таких ).

Стоит отметить, что носитель обобщённой функции будет непустым компактным множеством.

Замечание[править | править вики-текст]

Заметим, что такое определение носителя не совпадает с классическим. Действительно, обобщённая функция определена на пространстве бесконечно гладких финитных функций , а значит, классический носитель должен быть подмножеством , в то время как носитель обобщённой функции есть подмножество .

Примеры[править | править вики-текст]

В качестве примера можно рассмотреть функцию Дирака .

Возьмём любую финитную функцию с носителем, не включающим точку 0. Так как ( применяется как линейный функционал к ) равно нулю для таких функций, мы можем сказать, что носитель  — это только точка .

Сингулярный носитель[править | править вики-текст]

В анализе Фурье в частности, интересно изучить сингулярный носитель обобщённой функции. Он имеет интуитивную интерпретацию, как набор точек, в которых «обобщённая функция не сводится к обычной».

Формальное определение[править | править вики-текст]

Пусть  — обобщённая функция. Её можно представить в виде , где  — регулярная обобщённая функция, а  — сингулярная обобщённая функция. (Такое представление, вообще говоря, не единственно.)

Пересечение носителей по всем возможным разложениям называется сингулярным носителем обобщённой функции .

Классическое обозначение сингулярного носителя .

Примеры[править | править вики-текст]

Так, сингулярным носителем для функции Дирака является точка 0.

В данном частном случае сингулярный носитель и просто носитель обобщённой функции совпадают. Однако, это не есть общее свойство. Например, для обобщённой функции, действующей по формуле

носителем будет отрезок , а сингулярным носителем точка 0.

Другим примером является преобразование Фурье для шаговой функции Хевисайда может быть рассмотрено с точностью до константы как , за исключением точки, в которой . Так как это очевидно особая точка, то более точным является формулировка, что преобразование в качестве распределения имеет сингулярный носитель .

Для распределений с несколькими переменными, сингулярные носители позволяют определять множества волнового фронта и понять принцип Гюйгенса в терминах математического анализа. Сингулярные носители также могут быть использованы для понимания феноменов, специфичных для теории распределений, таких как попытки перемножения распределений (возведение в квадрат дельты-функции Дирака невозможно, в основном потому, что сингулярные носители распределений, которые перемножаются должны быть разделены).

Важное применение сингулярный носитель находит в теории псевдодифференциальных операторов (ПДО), в частности в теореме о псевдолокальности ПДО.

Носитель меры[править | править вики-текст]

Так как меры (включая меры вероятности) на вещественной прямой являются особыми случаями обобщённых функций (распределений), мы также можем говорить о носителе меры таким же образом.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. — 2-е изд. — М.: «Добросвет», 2003.