Возвратное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебраическое уравнение вида: называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если , при k = 0, 1, …, n. Иногда такие уравнения называют симметричными или симметрическими.

Уравнение четвёртой степени[править | править вики-текст]

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида , где a, b и c — некоторые числа, причём .

Алгоритм решения подобных уравнений:

  • разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при ;
  • группировкой привести полученное уравнение к виду ;
  • ввести новую переменную , тогда выполнено , то есть ;
  • в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: ;
  • решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Модифицированное и обобщённое уравнения четвёртой степени[править | править вики-текст]

Модифицированное возвратное уравнение четвёртой степени может быть сведено к квадратному уравнению относительно переменной , если ввести .

Обобщённое возвратное уравнение четвёртой степени сводится к квадратному уравнению подстановкой . Среди всех уравнений четвёртой степени эти уравнения выделяются тем, что для их коэффициентов справедливо соотношение:

Уравнения степени пять и более[править | править вики-текст]

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения:

  • Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой

.

  • Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x = −1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

См. также[править | править вики-текст]


Ссылки[править | править вики-текст]