Вязкость суспензии

Относительная вязкость суспензии $\eta$  (отношение вязкости суспензии к вязкости дисперсионной среды)  зависит от многих факторов: температуры T, степени дисперсности, объемной доли $\varphi$ дисперсной фазы, скорости сдвига (градиента скорости) ${\dot {\gamma }}$ и времени действия сдвигового напряжения (в случае наличия релаксационных эффектов – тиксотропии или реопексии).

Формула Кригера

Зависимость относительной вязкости суспензии $\eta$ от объемной доли дисперсной фазы $\varphi$ при постоянной скорости сдвига описывается формулой Кригера:

$(1)\qquad \eta =\left(1-{\frac {\varphi }{\varphi _{0}}}\right)^{-\varphi _{0}[\eta ]}$

Где $[\eta ]$– характеристическая вязкость, $\varphi _{0}$ – максимальное количество твердой фазы, которое можно ввести в суспензию; при этом вязкость суспензии стремится к бесконечности.

Эта формула выведена из следующих посылок

A)    При объемной доле твердой фазы, стремящейся к нулю, относительная вязкость суспензии стремится к единице, а ее производная по объемной доле дисперсной фазы – к характеристической вязкости:

$(2)\qquad {\begin{cases}\eta (0)=1\\{d\eta (0) \over d\varphi }=[\eta ]\end{cases}}$

B)  $\eta (\varphi )$должна удовлетворять функциональному уравнению Кригера [1]:

$(3)\qquad \eta {\bigl (}\varphi _{1}+\varphi _{2}{\bigr )}=\eta (\varphi _{1})\eta \left({\frac {\varphi _{2}}{1-\varphi _{1}/\varphi _{0}}}\right)$

Где $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$ – объемные доли одного и того же компонента, вводимые по частям.

Заменяя в уравнении (3) $\varphi _{1}$ на $\varphi$, а $\varphi _{2}$ на дифференциал $d\varphi$, получим дифференциальное уравнение, решение которого, с учетом начальных условий (2) и есть формула Кригера (1).

Рис.1. Типы кривых течения

Обобщение формулы Кригера на случай многокомпонентной суспензии имеет вид:

$(4)\qquad \eta =\left(1-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\varphi _{i}}{\varphi _{0,i}}}\right)^{-{\overline {\varphi }}_{0}[{\overline {\eta }}]}$

где $[{\overline {\eta }}]$ – среднеобъемная характеристическая вязкость $[{\overline {\eta }}]={\frac {\sum [\eta _{i}]\varphi _{i}}{\varphi }}$,

${\overline {\varphi _{0}}}$ – среднегармоническая предельная концентрация ${\overline {\varphi _{0}}}={\frac {\varphi }{\sum \varphi _{i}/\varphi _{0,i}}}$,

$\varphi$ – суммарная объемная доля твердой фазы $\varphi =\sum \varphi _{i}$.

Типы кривых течения

Кривые течения – графики зависимости сдвигового напряжения $\tau$ от скорости сдвига ${\dot {\gamma }}$.

Рис. 2 Зависимость напряжения сдвига от скорости сдвига для дисперсий окиси хрома по данным [4]. Различные кривые соо тветствуют различным концентрациям дисперсной фазы.

На рис. 1 схематично показаны 4 различные типа кривых течения:

(1)  – ньютоновская жидкость,

(2)  – бингамовский пластик,

(3)  – дилатантная суспензия,

(4)  – структурно-вязкая (псевдопластичная) суспензия,

$\tau _{0}$ – предел текучести.

Обобщенную формулу Кригера (4) можно использовать для количественного описания всех типов кривых течения, если принять следующие предположения:[4]:

1. Однокомпонентную суспензию можно рассматривать как систему, состо­ящую из двух фракций: одиночных зерен суспензии и их димеров, причем одиночным зернам и их димерам соответ­ствуют различные значения параметров $[\eta ]$ и $\varphi _{0}$;
2. Димеризацию одиночных зерен можно рассматривать как реакцию с константой скорости $k_{1}$, распад димеров – как реакцию с константой скорости, ли­нейно зависящей от скорости сдвига ${\dot {\gamma }}$: $k=k_{2}+k_{3}{\dot {\gamma }}$

Рис.3. N-образная кривая (псевдопластичное течение сменяется на дилатантное)

Любой скорости сдвига соответствуют свои равновесные кон­центрации одиночных зерен и димеров, исходя из которых, мож­но вычислить зависимость напряжения сдвига $\tau$ от скорости сдвига ${\dot {\gamma }}$.с помощью следующей формулы:

(5) $\tau =\tau _{0}+\eta _{0}{\dot {\gamma }}\left(1-{\frac {\varphi _{1}}{\varphi _{01}}}-{\frac {\varphi _{2}}{\varphi _{02}}}\right)^{-{\tfrac {[\eta _{1}]\varphi _{1}+[\eta _{2}]\varphi _{2}}{\varphi _{1}/\varphi _{01}+\varphi _{2}/\varphi _{02}}}}$,

где $\varphi _{1}={\sqrt {\varkappa ^{2}+2\varkappa \varphi }}-\varkappa$, $\varphi _{2}=\varphi -\varphi _{1}$, при этом $\varkappa =\varkappa _{0}+\varkappa _{1}{\dot {\gamma }}$ – параметр, связанный с константой равновесия между одиночными зернами и их димерами и линейно зависящий от скорости сдвига.

Формула (5) хорошо согласуется с экспериментальными данными (рис. 2).

Однако существуют суспензии, в которых характер течения меняется с ростом скорости сдвига: псевдопластичное поведение сменяется дилатантным ([5]) или наоборот. Для описания таких систем необходимо учитывать образование не только димеров зерен дисперсной фазы, но и их тримеров. В этом случае кривые течения при определенных значениях параметров приобретают точку перегиба, т.е. принимают S- или N-образную форму (рис. 3 и 4)

Рис. 4. S-образная кривая (дилатантное течение сменяется на псевдопластичное)

Литература

1. Krieger I.M. Flow Properties of Latex and Concentrated Solutions. В кн. "Surfaces and Coatings Related to Paaper and Wood". A Symposium, State University College of Forestry at Syracuse University, Syracuse University Press. 1967 P. 25-51.
2. Barnes H.A., Hutton J.F., Walters K. An Introduction to Rheology. Rheology series 3, Elsevier. 1988. P. 119-125.
3. Левинский А.И. Вязкость суспензий: формула Кригера–Догерти и эффект Фарриса" // Известия вузов. Химия и химическая технология, 2005. т. 48 №12. с. 22-25
4. Левинский А.И. Напряжения сдвига при течении структурированных суспензий // Журнал Физической Химии, 2021, т. 95 № 7 – с. 1131-1134.
5. Laun H.M. Rheological properties of aqueous polymer dispersions. // Angew. Macromol. Chem, 1984, 123, p. 335–359