Теорема Пифагора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Схема, объясняющая доказательство теоремы Пифагора через равнодополняемость[⇨].

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое геометрическое доказательство приписывается Пифагору, строгое аксиоматическое доказательство утверждения принадлежит Евклиду[⇨].

Также может быть выражена как геометрический факт равенства площади треугольника, отложенного гипотенузы с суммой площадей треугольников, отложенных от катетов[⇨]. Верно и обратное утверждение[⇨]: треугольник, сумма квадратов длин двух сторон которого равна квадрату длины третей стороны, является прямоугольным.

Существует ряд обобщений[⇨] для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей, сводящихся к основному утверждению теоремы при рассмотрении прямоугольного треугольника. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется[⇨].

История

По мнению историка математики Морица Кантора в Древнем Египте во времена царя Аменемхета I (около XXIII век до н. э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок»[1]. В древневавилонском тексте, относимом ко временам Хаммурапи (XX век до н. э.), приведено приближённое вычисление гипотенузы[2]. По мнению Ван-дер-Вардена, очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.

Рисунок из книги Чжоу би суань цзин (500—200 лет до нашей эры)

В древнекитайской книге Чжоу би суань цзин (кит. 周髀算經), относимой к периоду V—III веков до н. э., приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы[3].

Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н. э.). Имеется свидетельство Прокла (485—410 до н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки[⇨][4][5], но при этом в течении пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако, когда такие авторы как Плутарх и Цицерон пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно:[6][7]. Существует предание, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков[8].

Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около в 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора[9].

Формулировки

Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты и , равна площади квадрата, построенного на гипотенузе

Основная формулировка содержит алгебраические действия — в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны и , а длина гипотенузы — , выполнено соотношение:

.

Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Обратная теорема Пифагора — утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением . Как следствие, для всякой тройки положительных чисел , и , такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой .

Доказательства

В научной литературе зафиксировано не менее 367 доказательств теоремы Пифагора[10], что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия[⇨]), метод площадей[⇨], существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Podobnye treugolniki proof.png

Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры. В нём для треугольника с прямым углом при вершине со сторонами , противолежащими вершинам соответственно, проводится высота , при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: и , из чего непосредственно следуют соотношения:

; .

При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства:

; ,

покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:

.

Доказательства методом площадей

Большое число доказательств задействуют понятие площади. Несмотря на видимую простоту многих из них, такие доказательства используют свойства площадей фигур, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

Схема доказательства через равнодополняемость.

Доказательство через равнодополняемость использует четыре копии прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой , расположенные таким образом, чтобы образовывать квадрат со стороной и внутренний четырёхугольник со сторонами длиной . Внутренний четырёхугольник в этой конфигурации является квадратом, так как сумма двух противоположных прямому острых углов — 90°, а развёрнутый угол — 180°. Площадь внешнего квадрата равна , он состоит из внутреннего квадрата площадью и четырёх прямоугольных треугольников, каждый площадью , в результате из соотношения при алгебраическом преобразовании следует утверждение теоремы.

Доказательство Евклида

Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности , площадь которых составляет половину площади прямоугольников и соответственно.

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами.

Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника с прямым углом , квадратов над катетами и и квадрата над гипотенузой строится высота и продолжающий её луч , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника и . Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника с квадратом над катетом ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника и устанавливается через конгруэнтность треугольников и , площадь каждого из которых равна половине площади квадратов и соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при .

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников и , равна сумме площадей квадратов над катетами.

Доказательство Леонардо да Винчи

Чертёж к доказательству Леонардо да Винчи

К методу площадей относится также доказательство, найденное Леонардо да Винчи. В нём для прямоугольного треугольника с прямым углом , квадратов над катетами и и квадрата над гипотенузой , над стороной последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный , притом отражённый как относительно гипотенузы, так относительно высоты к ней (то есть и ). Прямая разбивает квадрат над гипотенузой на две равные части, поскольку треугольники и равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников и , площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов над катетами и площади исходного треугольника, с другой стороны — половине площади квадрата над гипотенузой плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.

Доказательство методом бесконечно малых

Доказательство методом бесконечно малых

Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений. В частности, Харди приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов и и гипотенузы , и сохраняющие подобие с исходным прямоугольником, то есть, обеспечивающие выполнение следующих дифференциальных соотношений:

, .

Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение , интегрирование которого даёт соотношение . Применение начальных условий определяет константу как 0, что в результате даёт утверждение теоремы.

Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Вариации и обобщения

Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах

Обобщение для подобных треугольников, площадь зеленых фигур равны площади синей.
Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников.

Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в «Началах», перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных подобных геометрических фигур[11]: сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями , и , построенных на катетах с длинами и и гипотенузе соответственно, имеет место соотношение:

.

Так как по теореме Пифагора , то выполнено .

Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение , то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэтный начальному прямоугольный треугольник площадью , а на катетах — два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями и , то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.

Теорема косинусов

Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике[12]:

,

где  — угол между сторонами и . Если угол равен 90°, то , и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник

Обобщение, установленное Сабитом ибн Куррой. Нижний рисунок демонстрирует подобие треугольника , подобный треугольнику .

Существует обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник, оперирующее исключительно соотношением длин сторон, считается, что оно впервые было установлено сабийским астроном Сабитом ибн Куррой[13]. В нём для произвольного треугольника со сторонами в него вписывается равнобедренный треугольник с основанием на стороне , вершиной, совпадающей с вершиной исходного треугольника, противолежащей стороне и углами при основании, равными углу , противолежащему стороне . В результате образуются два треугольника, подобных исходному: первый — со сторонами , дальней от неё боковой стороной вписанного равнобедренного треугольника, и  — части стороны ; второй — симметрично к нему от стороны со стороной  — соответствующей частью стороны . В результате оказывается выполнено соотношение[14][15]:

,

вырождающееся в теорему Пифагора при . Соотношение является следствием подобия образованных треугольников:

.

Теорема Паппа о площадях

Теорема Паппа о площадях, позволяющая для произвольного треугольника и произвольных параллелограммах на двух его сторонах построить параллелограмм на третьей стороне таким образом, чтобы его площадь была равна суммой площадей двух заданных параллелограммов, также может быть рассмотрена как обобщение теоремы Пифагора[16]: в случае, когда исходный треугольник — прямоугольный, а на катетах в качестве параллелограммов заданы квадраты, квадрат, построенный от гипотенузы оказывается удовлетворяющим условиям теоремы Паппа о площадях.

Многомерные обобщения

Обобщением теоремы Пифагора для трёхмерного евклидова пространства является теорема де Гуа: если тетраэдр имеет прямой угол, то квадрат площади грани, лежащей напротив прямого угла, равен сумме квадратов площадей других трёх граней. Этот вывод может быть обобщен и как «n-мерная теорема Пифагора» для евклидовых пространств высших размерностей[17] — для граней ортогонального -мерного симплекса с площадями ортогональных граней и противолежащей им грани площадью выполнено соотношение:

.

Ещё одно многомерное обобщение возникает из задачи нахождения квадрата длины диагонали прямоугольного параллелепипеда: для её вычисления необходимо дважды применить теорему Пифагора, в результате она составит сумму квадратов длин трёх смежных сторон параллелепипеда. В общем случае, длина диагонали -мерного прямоугольного параллелепипеда со смежными сторонами с длинами составляет:

,

как и в трёхмерном случае, результат является следствием последовательного применения теоремы Пифагора к прямоугольным треугольникам в перпендикулярных плоскостях.

Неевклидова геометрия

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и недействительна для неевклидовой геометрии[18] — выполнение теоремы Пифагора равносильно постулату Евклида о параллельности[19][20].

В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника, которые ограничивают собой октант единичной сферы, имеют длину , что противоречит теореме Пифагора.

При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему[21].

Сферическая геометрия

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом (например, если угол в треугольнике прямой) со сторонами соотношение между сторонами имеет вид[22]:

.

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов, которое справедливо для всех сферических треугольников:

.

Применяя ряд Тейлора в функции косинуса () можно показать, что если радиус стремится к бесконечности, а аргументы , и — стремятся к нулю, то сферическое соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике приближается к теореме Пифагора.

Геометрия Лобачевского

В геометрии Лобачевского для прямоугольного треугольника со сторонами со стороной , противолежащей прямому углу, соотношение между сторонами будет следующим[23]:

,

где гиперболический косинус[24]. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников[25]:

,

где — угол, вершина которого противоположна стороне .

Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса () можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда , и стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.

Применение

Расстояние в двумерных прямоугольных системах

Важнейшее применение теоремы Пифагора — определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат: расстояние между точками с координатами и равно:

.

Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения модуля комплексного числа — для он равен длине радиус-вектора на комплексной плоскости к точке :

.

Расстояние между комплексными числами и также представляется в форме теоремы Пифагора[26]:

.

Евклидова метрика

Евклидова метрика — функция расстояния в евклидовых пространствах, определяемая по теореме Пифагора, непосредственным её примененем в двумерном случае, и последовательным в многомерном; для точек -мерного пространства и расстояние между ними определяется следующим образом:

.

Теория чисел

Пифагорова тройка — набор из трёх натуральных чисел , которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, то есть натуральные числа, удовлетворяющие диофантову уравнению . Пифагоровы тройки играют важную роль в теории чисел, задача их эффективного нахождения породила широкий пласт работ начиная с древнейших времён до вплоть до современности. Формулировка Великой теоремы Ферма аналогична задаче нахождения пифагоровых троек для степени более 2.

Примечания

  1. Кантор ссылается на папирус 6619 Берлинского музея
  2. History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics
  3. Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование // Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах / Титаренко М. Л. — М.: Восточная литература РАН, 2009. — Т. 5. — С. 939—941. — 1055 с. — ISBN 9785020184299.
  4. Евклид, 1956, p. 351.
  5. С. 351
  6. Хит, 1921, vol I, p. 144.
  7. Kurt Von Fritz (Apr., 1945). «The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum». The Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) 46 (2): 242—264. «Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».
  8. Льюис Кэррол. «История с узелками». — М., Мир, 1985. — С. 7
  9. Asger Aaboe. Episodes from the early history of mathematics. — Mathematical Association of America, 1997. — P. 51. — ISBN 0883856131.
  10. Elisha Scott Loomis. Pythagorean Proposition
  11. Euclid’s Elements: book VI, proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle».
  12. Lawrence S. Leff. Cited work. — Barron's Educational Series. — P. 326. — ISBN 0764128922.
  13. Howard Whitley Eves. § 4.8: …generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650). — Mathematical Association of America, 1983. — P. 41. — ISBN 0883853108.
  14. Aydin Sayili (Mar. 1960). «Thâbit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem». Isis 51 (1): 35—37. DOI:10.1086/348837.
  15. Judith D. Sally, Paul Sally. Exercise 2.10 (II) // Cited work. — P. 62. — ISBN 0821844032.
  16. George Jennings. Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures. — 3rd. — Springer, 1997. — P. 23. — ISBN 038794222X.
  17. Rajendra Bhatia. Matrix analysis. — Springer, 1997. — P. 21. — ISBN 0387948465.
  18. Stephen W. Hawking. Cited work. — 2005. — P. 4. — ISBN 0762419229.
  19. Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics. — 2nd. — 2003. — P. 2147. — ISBN 1584883472.
  20. Alexander R. Pruss. The principle of sufficient reason: a reassessment. — Cambridge University Press, 2006. — P. 11. — ISBN 052185959X.
  21. Victor Pambuccian (December 2010). «Maria Teresa Calapso's Hyperbolic Pythagorean Theorem». The Mathematical Intelligencer 32. DOI:10.1007/s00283-010-9169-0.
  22. Barrett O'Neill. Exercise 4 // Elementary differential geometry. — 2nd. — Academic Press, 2006. — P. 441. — ISBN 0120887355.
  23. Saul Stahl. Theorem 8.3 // The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry. — Jones & Bartlett Learning, 1993. — P. 122. — ISBN 086720298X.
  24. Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины. — М. Русский язык, 1989 г.
  25. Jane Gilman. Hyperbolic triangles // Two-generator discrete subgroups of PSL (2, R). — American Mathematical Society Bookstore, 1995. — ISBN 0821803611.
  26. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. — 3rd. — CRC Press, 2006. — P. 194. — ISBN 1584884487.

Литература

  • Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — М., 1959
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. — М., 1982
  • Еленьский Щ. По следам Пифагора. — М., 1961
  • Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.
  • Литцман В. Теорема Пифагора. — М., 1960.
    • Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
  • Скопец З. А. Геометрические миниатюры. — М., 1990

Ссылки