Гипотеза чудовищного вздора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гипотеза чудовищного вздора (англ. monstrous moonshine) — доказанная математическая гипотеза, которая неожиданным[1] образом связывает простую конечную группу-монстра и модулярные функции (в частности, -инвариант[en])[2].

Первое проявление связи выявлено в конце 1970-х годов Джоном Маккеем[en], обратившим внимание на то, что коэффициенты ряда Фурье нормализованного -инварианта:

[3]

( — отношение полупериодов[en], ) являются специфическими линейными комбинациями размерностей [4] неприводимых представлений группы :

.

Джон Томпсон для объяснения феномена предложил изучить степенные ряды с коэффициентами, являющимися характерами представлений монстра, вычисленными для различных его элементов. В 1979 году Джон Конвей (предложивший термин «чудовищный вздор», впервые узнав о соотношении Маккея) и Саймон Нортон[en] построили такие функции (ряды Маккея — Томпсона), и обнаружили их сходство с главными модулярными функциями (нем. Hauptmodul), сформулировав содержание гипотезы: каждый ряд Маккея — Томпсона соответствует определённой главной модулярной функции[5].

В 1992 году гипотеза была доказана учеником Конвея Ричардом Борчердсом, впоследствии получившим Филдсовскую премию, в том числе, за этот результат. Доказательство существенным образом опиралось на свойства некоторой алгебры вершинных операторов (монстр-вершинной алгебры[en]), для которой группа-монстр является группой симметрий, и тем самым обнаружена связь утверждения с теорией струн и конформной теорией поля (основывающихся на алгебрах вершинных операторов).

Примечания[править | править код]

  1. David Terr. Monstrous Moonshine (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Иэн Стюарт. Укрощение бесконечности: История математики от первых чисел до теории хаоса. — ISBN 5001174554.
  3. последовательность A014708 в OEIS
  4. последовательность A001379 в OEIS
  5. J. H. Conway and S. P. Norton. Monstrous Moonshine // Bull. London Math. Soc. — 1979. — Vol. 11. — P. 308—339. — DOI:10.1112/blms/11.3.308.